ألغاز رياضية لم تُحل: ما الذي لا يزال مفتوحًا؟

دالة زيتا لريمان كائن رياضي مبني من مجموع لا نهائي، ويحمل بشكل لافت معلومات عميقة عن طريقة توزّع الأعداد الأولية. وتساوي هذه الدالة صفرًا عند نقاط خاصة معيّنة. الأصفار «البديهية» مفهومة جيدًا، أما الأصفار «غير البديهية»، وهي لا نهائية العدد، فليست كذلك. وتتنبأ الفرضية بأن كل واحد منها يقع على خط رأسي محدد (حيث يساوي الجزء الحقيقي للمُدخل 1/2). وقد فُحص بالحاسوب أكثر من 10 تريليونات منها، وكلها تقع على الخط تمامًا.

لماذا تهم

يقوم جزء هائل من الرياضيات القائمة على افتراض صحة RH: فمئات المبرهنات المنشورة مصاغة على شكل «صحيحة إذا كانت RH صحيحة». والبرهان سيحوّلها كلها دفعة واحدة إلى حقائق غير مشروطة، وسيحدد حدّ الخطأ في مبرهنة الأعداد الأولية في أدق صورة ممكنة.

ما هو معروف

جرى التحقق حسابيًا من أكثر من 10 تريليونات صفر، وكلها على الخط. كما ثبت بطرق تحليلية، دون الاعتماد على الحساب، أن نسبة موجبة من كل الأصفار (أكثر من 40%) تقع على الخط.

ما الذي لم يُحل بعد

برهان (أو دحض) يشمل كل صفر من الأصفار اللانهائية، لا تلك التي فُحصت أو التي تغطيها النتائج الجزئية الحالية فقط.

تقدّم جرى التحقق منه، مع التواريخ

1. 1859برنهارد ريمان يصوغ الفرضية في بحث عن توزيع الأعداد الأولية.
2. 2004 – عشرينيات القرنالتحقق الحسابي يتجاوز 10 تريليونات صفر دون العثور على أي استثناء.

المصادر

• Clay Mathematics Institute — Riemann Hypothesis
• Riemann Hypothesis — Wikipedia

تاريخ التحقق من الحالة: 2 أكتوبر 2026.

بعض المسائل، مثل سودوكو مكتملة أو مسار توصيل مقترح أقصر من طول مستهدف، يمكن التحقق منها في لحظة تقريبًا ما دامت لديك إجابة مرشحة. تسأل مسألة P مقابل NP: هل يمكن دائمًا، من حيث المنطق الخالص، حل هذه الفئة الواسعة كلها من المسائل «السريعة التحقق» بسرعة أيضًا ومن الصفر، أم أن التحقق والحل صعوبتان مختلفتان جوهريًا؟

لماذا تهم

يعتمد جزء كبير من التشفير الحديث (ومنه التشفير الذي يحمي الخدمات المصرفية عبر الإنترنت) على وجود مسائل سهلة التحقق صعبة الحل. ولو بُرهن أن ⁦P = NP⁩، ووُجدت طريقة فعّالة حقًا، لوجب استبدال معظم التشفير الحالي.

ما هو معروف

الفئة P جزء من NP (فكل ما يُحل بسرعة يمكن التحقق منه بسرعة أيضًا)، وهذا الاتجاه بديهي ومُبرهن. أما هل يصح العكس، فغير معروف. ولم يُبرهن لأي مسألة أن حلّها يتطلب أكثر من زمن متعدد الحدود مع بقاء التحقق منها سهلًا.

ما الذي لم يُحل بعد

برهان إما أن ⁦P = NP⁩ (ويُفضّل أن يكون مع طريقة فعّالة حقًا لمسألة من NP)، أو أن ⁦P ≠ NP⁩ (أي أنه لا يمكن أبدًا وجود مثل هذه الطريقة لمسألة واحدة على الأقل من المسائل NP-التامة).

تقدّم جرى التحقق منه، مع التواريخ

1. 1971ستيفن كوك يصوغ سؤال P مقابل NP ومفهوم NP-التمام صياغة رسمية.
2. مستمرعقود من محاولات البرهان في الاتجاهين؛ وقد ثبت أن عدة استراتيجيات برهان معروفة لا يمكن أن تنجح (ما يُعرف بنتائج «الحواجز»)، مما يضيّق نطاق البحث.

المصادر

• Clay Mathematics Institute — P vs NP
• P versus NP problem — Wikipedia

تاريخ التحقق من الحالة: 2 أكتوبر 2026.

تصف معادلات نافييه–ستوكس حركة الموائع (الماء، الهواء)، وتُستخدم بنجاح كل يوم في التنبؤ بالطقس وفي الهندسة. والسؤال الرياضي المفتوح هو: إذا بدأنا من أي جريان ابتدائي ناعم ومعقول في ثلاثة أبعاد، فهل تضمن المعادلات أن تستمر في إعطاء حلول ناعمة ومعقولة إلى الأبد؟ أم أن الرياضيات نفسها قد تُنتج نقطة شاذة (أي سرعة لا نهائية عند نقطة، عمليًا) في زمن محدود، حتى لو لم يحدث أي شيء مستحيل فيزيائيًا؟

لماذا تهم

تُستخدم المعادلات باستمرار في الممارسة. والمسألة تتعلق بما إذا كانت أسسها الرياضية موثوقة تمامًا في كل حالة ممكنة، لا بما إذا كانت مفيدة (فهي مفيدة بوضوح).

ما هو معروف

ثبت الوجود والنعومة في بعدين. أما في ثلاثة أبعاد، فمعروف وجود حلول من نوع ضعيف (أقل انضباطًا)، لكن النعومة الكاملة لكل الأزمنة لم تُبرهن قط في الحالة العامة.

ما الذي لم يُحل بعد

قبل عام 2026: برهان أن الحلول تبقى ناعمة دائمًا، أو تقديم مثال حقيقي لا تبقى فيه كذلك. وحتى تاريخ التحقق من الحالة، يوجد حلّ مُدّعى لكنه لم يُؤكَّد رسميًا بعد، انظر التقدّم أدناه.

تقدّم جرى التحقق منه، مع التواريخ

1. سبتمبر 2026الإعلان عن نتيجة تتناول المسألة، وردت التقارير بارتباطها بجهد بحثي لدى OpenAI، ويُقال إنها تقترح حالة انفجار في زمن محدود.
2. 11 سبتمبر 2026معهد كلاي للرياضيات يعلن أن المسألة «حُسمت على ما يبدو»، ويصف عملية التقييم لديه بأنها «متأنية عن قصد».

المصادر

• Clay Mathematics Institute — Navier–Stokes announcement
• OpenAI says it has solved one of math's 'Millennium Problems' — CNN Business

تاريخ التحقق من الحالة: 2 أكتوبر 2026.

تقوم نظرية يانغ–ميلز في أساس عمل القوى الأساسية في فيزياء الجسيمات، ويستخدمها الفيزيائيون بنجاح تجريبي هائل. والناقص هو بناء رياضي صارم بالكامل للنظرية (لا مجرد تقريب ناجح فيزيائيًا). وينقص أيضًا برهان على أنها تتنبأ حتمًا بـ«فجوة كتلة»: أي أن أخفّ جسيم تسمح به النظرية يجب أن تكون كتلته موجبة تمامًا، بما يطابق ما تلاحظه التجارب فعلًا.

لماذا تهم

تقع المسألة تمامًا عند التقاء الفيزياء بالرياضيات البحتة، وحلّها سيكون من أعمق التأكيدات على أن الرياضيات التي تقوم عليها الفيزياء الحديثة محكمة منطقيًا، لا ناجحة تجريبيًا فحسب.

ما هو معروف

تعمل نظرية يانغ–ميلز فيزيائيًا على نحو ممتاز، وقد أكدتها تجارب مسرّعات الجسيمات بدقة استثنائية. وتوجد صيغة رياضية صارمة في بعض الأُطر المبسّطة (ذات الأبعاد الأقل).

ما الذي لم يُحل بعد

بناء صارم بالكامل لنظرية يانغ–ميلز الكمومية الكاملة رباعية الأبعاد، وبرهان على أن فجوة الكتلة نتيجة حتمية لهذا البناء.

تقدّم جرى التحقق منه، مع التواريخ

1. 1954تشن نينغ يانغ وروبرت ميلز يقدّمان النظرية.
2. مستمرتوجد أبنية صارمة في حالات مبسّطة أو ذات أبعاد أقل؛ أما الحالة الفيزيائية الكاملة فلا تزال مفتوحة.

المصادر

• Clay Mathematics Institute — Yang–Mills and Mass Gap
• Yang–Mills existence and mass gap — Wikipedia

تاريخ التحقق من الحالة: 2 أكتوبر 2026.

تدرس الهندسة الجبرية الأشكال المعرّفة بمعادلات كثيرات الحدود. ولهذه الأشكال سمات داخلية يمكن وصفها بالطوبولوجيا (الشكل بمعنى مرن يُسمح فيه بالمط والثني). وتتنبأ حدسية هودج بأنه، لفئة محددة ومنضبطة من هذه الأشكال، يمكن أيضًا بناء كل سمة طوبولوجية من هذا النوع مباشرة من أشكال جزئية جبرية (قطع هي نفسها حلول لمعادلات كثيرات حدود). وجوهر ذلك أن عدستين مختلفتين للنظر إلى الشكل نفسه يجب أن تتفقا دائمًا.

لماذا تهم

إنه سؤال أساسي عن العلاقة بين فرعين كبيرين من الهندسة، الطوبولوجيا والجبر؛ والبرهان سيربطهما ربطًا أوثق بكثير مما هو معروف اليوم.

ما هو معروف

ثبتت صحتها في حالات خاصة كثيرة، ذات أبعاد أقل أو متناظرة.

ما الذي لم يُحل بعد

برهان عام، أو مثال مضاد، يشمل الفئة الكاملة من الأشكال التي تنطبق عليها الحدسية.

تقدّم جرى التحقق منه، مع التواريخ

1. 1950وليام هودج يعرض الحدسية.
2. مستمرجرى التحقق منها في حالات خاصة عديدة؛ ولم يُعثر على برهان عام أو مثال مضاد.

المصادر

• Clay Mathematics Institute — Hodge Conjecture
• Hodge conjecture — Wikipedia

تاريخ التحقق من الحالة: 2 أكتوبر 2026.

المنحنى الإهليلجي معادلة على الصورة ⁦y² = x³ + ax + b⁩، وهو محوري في التشفير الحديث وفي برهان أندرو وايلز لمبرهنة فيرما الأخيرة. لبعض المنحنيات الإهليلجية عدد لا نهائي من الحلول النسبية، ولبعضها الآخر عدد منته فقط. وتقول الحدسية إنه يمكن معرفة أيّ الحالتين، وتقدير مدى «غنى» الحلول، من سلوك دالة أخرى مبنية من المنحنى (دالة L الخاصة به) قرب نقطة محددة وحده.

لماذا تهم

ستستبدل سؤالًا يُعالج اليوم حالة بحالة وغالبًا ما يصعب حسابه («كم حلًا لهذا المنحنى؟») بقاعدة واضحة قابلة للبرهان، لها صلة مباشرة بالتشفير ونظرية الأعداد.

ما هو معروف

جرى التحقق منها حسابيًا لعدد كبير جدًا من المنحنيات الإهليلجية المفردة، وبُرهنت في بعض الحالات العامة المقيّدة (مثل المنحنيات ذات «الرتبة» 0 أو 1).

ما الذي لم يُحل بعد

برهان عام يشمل المنحنيات الإهليلجية من كل الرتب.

تقدّم جرى التحقق منه، مع التواريخ

1. الستينياتبراين بيرتش وبيتر سوينرتون-داير يصوغان الحدسية انطلاقًا من تجارب حسابية.
2. الثمانينيات – العشرينياتبُرهنت لمنحنيات الرتبة 0 و1 على يد رياضيين مختلفين؛ ولا تزال مفتوحة في الحالة العامة.

المصادر

• Clay Mathematics Institute — Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture
• Birch and Swinnerton-Dyer conjecture — Wikipedia

تاريخ التحقق من الحالة: 2 أكتوبر 2026.

في بعدين يكاد الأمر يكون بديهيًا: أي حلقة على سطح كرة يمكن تقليصها إلى نقطة دون مغادرة السطح، أما الحلقة حول ثقب كعكة الدونات فلا. وكانت الحدسية تسأل هل تصح القاعدة نفسها («لا ثقوب يعني أنه كرة في حقيقته») في بعد أعلى، أي للأشكال ثلاثية الأبعاد في فضاء رباعي الأبعاد.

لماذا تهم

كانت آخر أسئلة هنري بوانكاريه التأسيسية في الطوبولوجيا حلًّا وأصعبها، وأصبحت التقنية المستخدمة في حلها (تدفق ريتشي) أداة رئيسية في الهندسة كلها.

ما هو معروف

ثبتت صحتها. فقد قدّمت أبحاث غريغوري بيرلمان في 2002–2003، المبنية على برنامج تدفق ريتشي لريتشارد هاميلتون، برهانًا كاملًا تحققت منه عدة فرق بشكل مستقل بحلول نحو عام 2006.

ما الذي لم يُحل بعد

لا شيء، فهذه هي مسألة جائزة الألفية الوحيدة المحلولة حقًا.

تقدّم جرى التحقق منه، مع التواريخ

1. 1904هنري بوانكاريه يطرح الحدسية.
2. 1982–2003ريتشارد هاميلتون يطوّر تدفق ريتشي أداةً؛ وغريغوري بيرلمان يُكمل البرهان باستخدامه.
3. نحو 2006فرق تحقق مستقلة تؤكد صحة البرهان.
4. 2006منح بيرلمان ميدالية فيلدز، فرفضها.
5. 2010معهد كلاي يمنح رسميًا جائزة الألفية البالغة مليون دولار، ويرفضها بيرلمان.

المصادر

• Clay Mathematics Institute — Poincaré Conjecture
• Poincaré conjecture — Wikipedia

تاريخ التحقق من الحالة: 2 أكتوبر 2026.

تصبح الأزواج مثل ⁦(11, 13)⁩ أندر كلما كبرت الأعداد، لكنها تظل تظهر: فالزوج ⁦(1,000,000,000,061, 1,000,000,000,063)⁩ مثال بعيد جدًا. وتقول الحدسية إن هذا لا يتوقف حقًا أبدًا، مهما كبرت الأعداد.

لماذا تهم

إنها من أقدم الأسئلة المفتوحة عن الأعداد الأولية وأبسطها صياغة، وقد دفع التقدّم فيها إلى تقنيات «غربلة» جديدة مهمة تُستخدم في نظرية الأعداد كلها.

ما هو معروف

في عام 2013 برهن يتانغ تشانغ على وجود عدد لا نهائي من أزواج الأعداد الأولية بفارق محدود ما (أقل من 70 مليونًا في البداية)، ليس بالضرورة 2 تمامًا، لكنه فارق ثابت ومنته. ثم قلّصت الأعمال اللاحقة (ولا سيما أعمال جيمس ماينارد وتيرنس تاو) هذا الحد بسرعة إلى 246.

ما الذي لم يُحل بعد

تقليص الفارق المُبرهن من 246 وصولًا إلى 2 تمامًا، وهي مسافة لا يُعتقد أن تقنيات الغربلة الحالية قادرة على قطعها دون فكرة جديدة حقًا.

تقدّم جرى التحقق منه، مع التواريخ

1. 2013يتانغ تشانغ يبرهن أن فجوة محدودة بين الأعداد الأولية تتكرر عددًا لا نهائيًا من المرات (أقل من 70,000,000).
2. 2013–14مشروع Polymath8 وجيمس ماينارد، كلٌّ على حدة، يقلّصان الحد إلى 246.

المصادر

• Twin prime conjecture — Wikipedia
• Bounded gaps between primes — Wikipedia

تاريخ التحقق من الحالة: 2 أكتوبر 2026.

⁦100 = 3 + 97⁩، أو ⁦11 + 89⁩، أو أزواج أخرى عديدة؛ و⁦10 = 3 + 7⁩ أو ⁦5 + 5⁩. وتقول الحدسية إن كل عدد زوجي يحتفظ بهذه الخاصية مهما كبر.

لماذا تهم

إنها من أقدم المسائل غير المحلولة في الرياضيات كلها (طُرحت أول مرة عام 1742)، وميدان اختبار طبيعي لفهم كيف تتفاعل البنية الجمعية مع الأعداد الأولية.

ما هو معروف

جرى التحقق منها بالحاسوب لكل عدد زوجي حتى نحو ⁦4 × 10¹⁸⁩. أما عبارة أضعف ذات صلة، وهي أن كل عدد فردي أكبر من 5 مجموع ثلاثة أعداد أولية (حدسية غولدباخ «الضعيفة» أو الثلاثية)، فقد برهنها هارالد هيلفغوت بالكامل عام 2013.

ما الذي لم يُحل بعد

برهان عام للصيغة القوية (بعددين أوليين) لكل عدد زوجي، لا للأعداد التي فحصها الحاسوب فقط. ونتيجة هيلفغوت عام 2013، رغم أنها علامة فارقة حقيقية، تبرهن عبارة مختلفة (ثلاثة أعداد أولية، أعداد فردية) ولا تُثبت صيغة العددين الأوليين.

تقدّم جرى التحقق منه، مع التواريخ

1. 1742كريستيان غولدباخ يطرح الحدسية في رسالة إلى أويلر.
2. 2013هارالد هيلفغوت يبرهن الصيغة «الثلاثية» الأضعف (ثلاثة أعداد أولية، أعداد فردية).
3. الألفينيات – العشرينياتالتحقق الحاسوبي من الصيغة القوية (عددان أوليان) يتجاوز ⁦4 × 10¹⁸⁩ دون أي استثناء.

المصادر

• Goldbach's conjecture — Wikipedia

تاريخ التحقق من الحالة: 2 أكتوبر 2026.

خذ أي عدد صحيح. إذا كان زوجيًا فاقسمه على اثنين، وإذا كان فرديًا فاضربه في ثلاثة وأضف 1. ثم كرّر. كل عدد جُرّب بهذه الطريقة حتى الآن، مهما صعد وهبط في البداية، ينتهي إلى 1. جرّب المستكشف في أسفل هذه الصفحة لترى ذلك بنفسك.

لماذا تهم

تشتهر بأنها بسيطة الصياغة إلى حد استثنائي، وعصيّة على البرهان إلى حد استثنائي أيضًا؛ ويُروى أن الرياضي بول إيردوش قال إن الرياضيات «ليست مستعدة بعد» لمسائل كهذه.

ما هو معروف

جرى التحقق منها بالحاسوب لكل عدد بداية حتى نحو ⁦2⁶⁸⁩ (قرابة ⁦3 × 10²⁰⁩)، وكلها تصل إلى 1. وفي عام 2019 برهن تيرنس تاو أن «كل الأعداد تقريبًا» (بمعنى إحصائي دقيق) تبلغ في النهاية قيمة صغيرة جدًا، وهي نتيجة جزئية كبرى.

ما الذي لم يُحل بعد

برهان أن كل عدد بداية، دون أي استثناء على الإطلاق، يصل إلى 1. فنتيجة تاو عام 2019، رغم أنها علامة فارقة حقيقية، لا تستبعد صراحةً وجود استثناءات نادرة.

تقدّم جرى التحقق منه، مع التواريخ

1. 1937لوتار كولاتز يطرح الحدسية.
2. 2019تيرنس تاو يبرهن أن كل المدارات تقريبًا تبلغ قيمًا محدودة تقريبًا، وهي نتيجة كبرى لكنها غير مكتملة.

المصادر

• Collatz conjecture — Wikipedia

تاريخ التحقق من الحالة: 2 أكتوبر 2026.

العدد 6 «تام»: فقواسمه 1 و2 و3 مجموعها 6. وكل الأعداد التامة المعروفة (6، 28، 496، 8128…) زوجية. لم يعثر أحد قط على عدد تام فردي، ولم يبرهن أحد أنه لا يمكن أن يوجد.

لماذا تهم

سؤال وجود بسيط الصياغة صمد أمام البرهان أكثر من ألفي عام، وميدان اختبار مفيد لتقنيات نظرية الأعداد الضربية.

ما هو معروف

ثبت أن أي عدد تام فردي، إن وُجد، يجب أن تكون له بنية مقيّدة للغاية: يجب أن يكون أكبر من ⁦10¹⁵⁰⁰⁩، وأن تكون له 10 عوامل أولية مختلفة على الأقل، وأن يحقق شروطًا ضيقة أخرى كثيرة.

ما الذي لم يُحل بعد

إما برهان أنه لا يمكن أن يوجد عدد تام فردي في أي ظرف، وإما مثال فعلي (يُتوقع، إن وُجد أصلًا، أن يكون كبيرًا كبرًا فلكيًا).

تقدّم جرى التحقق منه، مع التواريخ

1. مستمر، القرنان 20–21سلسلة طويلة من النتائج تضيّق تدريجيًا البنية التي يجب أن يكون عليها أي عدد تام فردي، دون أن تستبعد وجوده تمامًا.

المصادر

• Perfect number — Wikipedia

تاريخ التحقق من الحالة: 2 أكتوبر 2026.

إذا لم يكن بين a وb أي عامل مشترك وكان ⁦a + b = c⁩، فإن الحدسية تربط حجم c بحاصل ضرب الأعداد الأولية المختلفة التي تقسم a وb وc معًا (ويُسمّى «الجذر»). وبصورة تقريبية: لا يمكن أن يكون c أكبر كثيرًا من هذا الجذر، إلا بطريقة نادرة ومضبوطة. إنها عبارة عميقة عن كيفية تفاعل الجمع والضرب في الأعداد الصحيحة.

لماذا تهم

لو بُرهنت، لاستلزمت دفعة واحدة كثيرًا من النتائج والحدسيات الكبرى الأخرى في نظرية الأعداد، ومنها صيغة قوية لمبرهنة فيرما الأخيرة لكل الأسس عدا عددًا منتهيًا منها.

ما هو معروف

أعلن شينئيتشي موتشيزوكي عام 2012 برهانًا مزعومًا، باستخدام إطار جديد شديد التقنية يسميه نظرية تايشمولر بين الأكوان ⁦(IUT)⁩.

ما الذي لم يُحل بعد

قبول واسع لبرهان صحيح. فالبرهان الذي يدّعيه موتشيزوكي لم يقبله معظم المتخصصين.

تقدّم جرى التحقق منه، مع التواريخ

1. 2012موتشيزوكي ينشر على الإنترنت أربعة أبحاث تدّعي برهانًا عبر نظرية IUT.
2. 2018الرياضيان بيتر شولتسه ويعقوب شتيكس ينشران تقريرًا مفصلًا يحدد ما يصفانه بثغرة خطيرة غير محلولة في الحجة.
3. 2021الأبحاث تُنشر في مجلة RIMS (التي يحررها موتشيزوكي)، دون أن تُحل اعتراضات شولتسه وشتيكس بما يُرضي معظم الخبراء من خارجها.

المصادر

• abc conjecture — Wikipedia
• Why abc is still a conjecture — Peter Scholze & Jakob Stix report (via Scholze's site)

تاريخ التحقق من الحالة: 2 أكتوبر 2026.

تعمّم هذه الحدسية مبرهنة فيرما الأخيرة (وهي الحالة الخاصة ⁦p = q = r⁩). وتقول الحدسية إنه كلما كان لمعادلة كهذه حل بأسس كلها أكبر من 2، فلا يمكن أن تكون الأساسات الثلاثة A وB وC أولية فيما بينها تمامًا، بل يجب أن تشترك في عامل أولي واحد على الأقل.

لماذا تهم

إنها امتداد طبيعي لواحدة من أشهر المسائل المحلولة في الرياضيات (مبرهنة فيرما الأخيرة)، تسأل عما يحدث عندما يُسمح للأسس بأن تختلف.

ما هو معروف

لم يُعثر قط على مثال مضاد، وقد جرى التحقق من الحدسية عدديًا عبر فضاء بحث هائل. وقد رصد رجل الأعمال وهاوي الرياضيات أندرو بيل شخصيًا جائزة قدرها مليون دولار لبرهان أو مثال مضاد، تتولى إدارتها الجمعية الأمريكية للرياضيات.

ما الذي لم يُحل بعد

برهان عام، أو مثال مضاد.

تقدّم جرى التحقق منه، مع التواريخ

1. 1993–97أندرو بيل يصوغ الحدسية وينشرها ويرصد جائزة.
2. مستمرازدادت قيمة الجائزة مع الوقت (أُفيد بأنها مليون دولار)؛ ولم يُقبل أي برهان أو مثال مضاد.

المصادر

• Beal conjecture — Wikipedia

تاريخ التحقق من الحالة: 2 أكتوبر 2026.

فرضية ريمان العادية (أعلاه) تتعلق بدالة واحدة محددة. ويدرس الرياضيون أيضًا عائلة كاملة من الدوال الوثيقة الصلة، ترتبط كل منها بأنماط في المتتاليات الحسابية (أعداد مثل 3، 7، 11، 15… تزداد بخطوة ثابتة). وتمدّ GRH التنبؤ نفسه، «الأصفار على خط واحد»، إلى كل دالة في تلك العائلة كلها دفعة واحدة.

لماذا تهم

قدر كبير من نظرية الأعداد الحديثة، ولا سيما النتائج عن الأعداد الأولية في المتتاليات الحسابية وعدة خوارزميات في نظرية الأعداد الحاسوبية، مُبرهن بشرط صحة GRH؛ والبرهان سيجعل كل ذلك غير مشروط.

ما هو معروف

برهان GRH سيبرهن تلقائيًا فرضية ريمان العادية بوصفها حالة خاصة، لذا فإن GRH، بمعنى دقيق، سؤال مفتوح أصعب وأقوى تمامًا.

ما الذي لم يُحل بعد

كل ما لا تزال فرضية ريمان العادية تحتاج إليه، ممتدًا عبر عدد لا نهائي من الدوال الإضافية دفعة واحدة.

تقدّم جرى التحقق منه، مع التواريخ

1. مستمرتتبع النمط نفسه من التحقق الحسابي والنتائج التحليلية الجزئية كفرضية ريمان العادية، ممتدًا إلى دوال أكثر، مع تغطية أقل بالمقابل حتى الآن.

المصادر

• Generalized Riemann hypothesis — Wikipedia

تاريخ التحقق من الحالة: 2 أكتوبر 2026.

للانهاية أكثر من «حجم». فالأعداد الصحيحة (1، 2، 3…) لا نهائية، لكن الأعداد الحقيقية (كل نقطة على خط الأعداد، بما في ذلك كل الكسور العشرية بينها) تشكّل لانهاية أكبر تمامًا. وتسأل فرضية المتصل: هل يوجد حجم من اللانهاية يقع تمامًا بين هذين الحجمين، أم لا؟

لماذا تهم

كانت المسألة الأولى في قائمة ديفيد هيلبرت الشهيرة لعام 1900 التي ضمت 23 مسألة مفتوحة، وقد غيّرت قصة حسمها جذريًا فهم الرياضيين لما يستطيع «البرهان» أصلًا أن يحسمه.

ما هو معروف

هذه ليست حدسية مفتوحة عادية تنتظر فكرة بارعة لكسرها. فقد برهن كورت غودل عام 1940 أن فرضية المتصل لا يمكن دحضها انطلاقًا من المسلّمات القياسية لنظرية المجموعات ⁦(ZFC)⁩. ثم برهن بول كوهين عام 1963 أنها لا يمكن أيضًا إثبات صحتها من المسلّمات نفسها. ومعًا، تعني هاتان النتيجتان أن فرضية المتصل مستقلة عن ZFC: فالقواعد القياسية للرياضيات صامتة ببساطة إزاء السؤال، في الاتجاهين كليهما.

ما الذي لم يُحل بعد

لا يبقى شيء للبرهان داخل نظرية المجموعات القياسية ZFC، فهذا السؤال أُغلق نهائيًا بنتيجتي غودل وكوهين. وما يبقى سؤال مختلف حقًا لا يزال قائمًا: هل ينبغي إضافة مسلّمة جديدة إلى نظرية المجموعات، مبرَّرة تبريرًا مستقلًا وجيدًا، تحسم المسألة في هذا الاتجاه أو ذاك؟ وهو مجال بحث نشط، لكنه مختلف من الناحية الفلسفية.

تقدّم جرى التحقق منه، مع التواريخ

1. 1878غيورغ كانتور يطرح فرضية المتصل.
2. 1900ديفيد هيلبرت يضعها أولى المسائل المفتوحة الكبرى الثلاث والعشرين.
3. 1940كورت غودل يبرهن أن CH لا يمكن دحضها انطلاقًا من ZFC.
4. 1963بول كوهين يبرهن أن CH لا يمكن أيضًا إثباتها انطلاقًا من ZFC، فيثبت الاستقلال.

المصادر

• Continuum hypothesis — Wikipedia
• Independence (mathematical logic) — Wikipedia

تاريخ التحقق من الحالة: 2 أكتوبر 2026.