Hier ist ein Rätsel, das ein Zwölfjähriger verstehen kann und für das die Mathematiker der Welt 55 Jahre gebraucht haben. Nimm ein paar Zahlen auf einer Uhr. Kannst du sie immer so anordnen, dass du beim Aufaddieren nie zweimal auf derselben Stunde landest? Im Februar 2026 wurde das letzte Stück des Beweises veröffentlicht. Und das entscheidende Werkzeug war kein Trick für eine bestimmte Reihenfolge, sondern der Zufall.
Das Rätsel
GCSE-Kernstoff
Uhren-Arithmetik ist Rechnen, das wieder von vorn anfängt. Auf einer 11-Stunden-Uhr ist 8 + 5 nicht 13, sondern 2, weil 13 über 11 hinausgeht und wieder von vorn beginnt. Mathematiker nennen das Rechnen „modulo 11“. Nimm jetzt einige verschiedene Zahlen, die nicht 0 sind, etwa 1, 2, 3, 5, 9 und 10, addiere sie in einer Reihenfolge und schreibe jede laufende Summe auf. Probier es aus:
Probier es selbst: verschiedene Teilsummen auf einer 11-Stunden-Uhr
Die Zahlen 1, 2, 3, 5, 9, 10, einzeln aufaddiert auf einer Uhr mit 11 Stunden (12 Uhr ist dort 0, und 13 läuft auf 2 herum). Schaffst du eine Reihenfolge, bei der jede laufende Summe auf einer anderen Stunde landet?
| Reihenfolge | 1 | 10 | 2 | 9 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Laufende Summe | 1 | 0 | 2 | 0 | 3 | 8 |
Wiederholte Summe: 0. Versuch es noch einmal.
Ronald Graham, ein berühmter Mathematiker und zugleich ein geübter Jongleur (Quanta weist darauf hin, dass die Frage an Jonglierfiguren erinnert, bei denen nie zwei Bälle auf denselben Schlag landen dürfen), fragte 1971, ob es immer eine gute Reihenfolge gibt, für jede Primzahl p und jede Menge von Zahlen ungleich 0.
Illustration: die laufenden Summen als Sprünge um eine 11-Stunden-Uhr
Beginne bei 0 und addiere nacheinander 1, 2, 3, 9, 5, 10:
- +1 → Stunde 1
- +2 → Stunde 3
- +3 → Stunde 6
- +9 → Stunde 4
- +5 → Stunde 9
- +10 → Stunde 8
Der Unterschied, den Lernende oft übersehen
Beispiele prüfen ist kein Beweis
Warum es schwer war: drei Größen von Problem
Bachelor-Vertiefung
Was das Problem schwer macht, hängt davon ab, wie viele Zahlen du im Vergleich zur Größe der Uhr hast.
- Sehr kleine Mengen (etwa 100 Zahlen auf einer Uhr mit einer Milliarde Stunden): Es gibt viel Platz, aber man muss jeden unglücklichen Zufall ausschließen. Kravitz und Bedert lösten diesen Fall 2024.
- Fast volle Mengen (fast jede Stunde ist belegt): Es gibt kaum Spielraum. Müyesser und Pokrovskiy fanden einen Weg: ein paar besonders gewählte Zahlen beiseitelegen, den Rest zufällig mischen und Problemstellen dann durch Einfügen der Reservezahlen reparieren.
- Die Mitte (etwa die Hälfte der Stunden): zu voll für die Methoden für kleine Mengen, zu dünn für die für große. Das war die letzte Lücke.
Das letzte Stück: Zufall und Wellen
Master-Vertiefung
Sauermann und Pham begannen mit einer zufälligen Reihenfolge der Zahlen. In einer zufälligen Reihenfolge ist eine wiederholte laufende Summe ein „schlechtes Ereignis“. Sie mussten zwei Dinge zeigen: dass schlechte Ereignisse selten genug sind und dass die wenigen, die auftreten, durch Umordnen repariert werden können. Um zu zeigen, dass sie selten sind, nutzten sie die Fourier-Analyse, dieselbe Idee, die einen Klang in reine Sinuswellen zerlegt, um zu beweisen, dass zufällige Kombinationen der Zahlen keine bestimmte Summe bevorzugen. Ihr Reparaturverfahren korrigiert die Reihenfolge in mindestens 90 % der Fälle, und das reicht: Wenn ein Zufallsverfahren mit positiver Wahrscheinlichkeit gelingt, muss es eine gute Reihenfolge geben.
Wie die Forschenden Quanta Magazine erklärten, ist das Verblüffende an der Methode, dass es zufällig gemacht wahrscheinlich funktioniert, auch wenn schwer explizit zu beschreiben ist, wie die Lösung aussieht. Diese „probabilistische Methode“, die beweist, dass etwas existiert, ohne es je aufzuschreiben, ist eine der stärksten Ideen der modernen Kombinatorik.
Kurzcheck
Sauermann und Pham zeigten, dass eine zufällige Reihenfolge in mindestens 90 % der Fälle repariert werden kann. Warum beweist das, dass es immer eine gute Reihenfolge gibt?
Die Zeitleiste
Zeitleiste
- 1971Ronald Graham stellt die Umordnungsfrage für Zahlen auf einer Uhr mit einer Primzahl von Stunden.
- 2024Noah Kravitz und Benjamin Bedert lösen den Fall sehr kleiner Mengen, etwa 100 Zahlen auf einer Uhr mit rund einer Milliarde Stunden.
- 2022–2025Alp Müyesser und Alexey Pokrovskiy behandeln Mengen, die fast jede mögliche Zahl enthalten; ein gemeinsames Team erweitert die Methoden auf weitere Fälle.
- Feb. 2026Lisa Sauermann und Huy Tuan Pham schließen die letzte Lücke, mittelgroße Mengen, in einem 27-seitigen Artikel und vervollständigen den Beweis.
- Sept. 2026Quanta Magazine berichtet über die Lösung der 55 Jahre alten Vermutung in vier Artikeln.
Von Menschen gelöst, im Zeitalter der KI
2026 war voller Schlagzeilen über KI, die Matheprobleme löst, manche echt, manche nicht, wie unser Artikel Vom Computer gelöst erklärt. Grahams Vermutung erinnert daran, dass der tiefste Fortschritt immer noch oft von Menschen kommt: vier Teams, die über mehrere Jahre auf den Ideen der anderen aufbauten und Zufall in Gewissheit verwandelten.
Quellen und weiterführende Literatur
- Mathematicians Harness Randomness To Crack a 55-Year-Old Conjecture — Quanta Magazine (28 Sep 2026) — die vier Artikel, die Fallaufteilung und die Methode von Sauermann und Pham
- Probabilistic method — Wikipedia
- Modular arithmetic — Wikipedia
Zuletzt geprüft: 3. Oktober 2026, nach dem oben genannten Bericht von Quanta Magazine vom 28. September 2026.
Häufig gestellte Fragen
Was genau besagt Grahams Umordnungsvermutung?
Nimm eine Primzahl p und eine beliebige Sammlung verschiedener Zahlen ungleich 0 auf einer Uhr mit p Stunden (Arithmetik „modulo p“). Dann kann man sie immer so anordnen, dass die laufenden Summen (die erste Zahl, die ersten beiden addiert, die ersten drei usw.) alle auf verschiedenen Stunden landen. Es ist jetzt ein Satz, bewiesen in vier Artikeln, der letzte im Februar 2026.
Wer hat Grahams Vermutung gelöst?
Niemand allein. Noah Kravitz und Benjamin Bedert behandelten sehr kleine Mengen; Alp Müyesser und Alexey Pokrovskiy Mengen mit fast allen Zahlen, wobei ein gemeinsames Team ihre Methoden erweiterte; und Lisa Sauermann (Universität Bonn) und Huy Tuan Pham (University of Chicago) schlossen im Februar 2026 den letzten Fall, die mittelgroßen Mengen.
Wurde der Beweis von einem Computer oder einer KI gefunden?
Nein. Es ist ein menschlicher Beweis, aufgebaut aus Wahrscheinlichkeit (zufälligen Reihenfolgen) und Fourier-Analyse. Computer können kleine Fälle schnell prüfen, wie das Beispiel mit sechs Zahlen auf dieser Seite, aber keine Prüfung deckt jede Primzahl und jede Menge ab. Deshalb war ein Beweis nötig.
Warum ist es wichtig, dass die Uhrgröße eine Primzahl ist?
Auf einer Uhr mit einer Primzahl von Stunden besucht wiederholtes Addieren einer Zahl ungleich 0 jede Stunde, bevor man zum Start zurückkommt. Das gibt der Arithmetik eine sehr regelmäßige Struktur. Die Vermutung und ihr Beweis betreffen diesen Primzahlfall.
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Über den Autor
Sudershan Soni
Gründer und leitender Tutor bei Mostak Services — Tutor für Mathematik, Naturwissenschaften, Informatik und MINT mit Master-Abschluss und über 20 Jahren Berufserfahrung, unterrichtet Schüler von der 11+-Prüfung und GCSE bis zum A-Level und darüber hinaus, online weltweit.
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