Mystères mathématiques non résolus : qu'est-ce qui reste ouvert ?

La fonction zêta de Riemann est un objet mathématique construit à partir d'une somme infinie qui, de façon remarquable, contient des informations profondes sur la répartition des nombres premiers. Elle s'annule en certains points particuliers. Les zéros « triviaux » sont bien compris, mais il existe une infinité de zéros « non triviaux » qui ne le sont pas. L'hypothèse prédit que chacun d'eux se trouve sur une droite verticale précise (là où la partie réelle de l'entrée vaut 1/2). Plus de dix mille milliards de zéros ont été vérifiés par ordinateur, et tous sont exactement sur cette droite.

Pourquoi c'est important

Une part énorme des mathématiques existantes repose sur l'hypothèse que RH est vraie : des centaines de théorèmes publiés sont énoncés comme « vrais si RH est vraie ». Une démonstration les transformerait tous d'un coup en faits inconditionnels, et fixerait le terme d'erreur du théorème des nombres premiers sous sa forme la plus précise possible.

Ce que l'on sait

Plus de dix mille milliards de zéros ont été vérifiés par calcul, tous sur la droite. Une proportion strictement positive de tous les zéros (plus de 40 %) a été démontrée sur la droite par des méthodes analytiques, sans recours au calcul.

Ce qui reste non résolu

Une démonstration (ou une réfutation) qui couvre chacun de l'infinité des zéros, et pas seulement ceux qui ont été vérifiés ou couverts par les résultats partiels actuels.

Progrès vérifiés, avec dates

1. 1859Bernhard Riemann énonce l'hypothèse dans un article sur la répartition des nombres premiers.
2. 2004–années 2020La vérification par calcul dépasse les dix mille milliards de zéros, sans aucune exception.

Sources

• Clay Mathematics Institute — Riemann Hypothesis
• Riemann Hypothesis — Wikipedia

Statut vérifié : 2 octobre 2026.

Certains problèmes, comme une grille de sudoku remplie ou un itinéraire de livraison proposé sous une longueur cible, se vérifient presque instantanément une fois qu'on a une réponse candidate. P contre NP demande si toute cette vaste classe de problèmes « rapides à vérifier » peut toujours aussi être résolue rapidement à partir de rien, par pure logique, ou si vérifier et résoudre sont deux difficultés fondamentalement différentes.

Pourquoi c'est important

Une grande partie de la cryptographie moderne (dont le chiffrement qui protège la banque en ligne) repose sur des problèmes faciles à vérifier mais difficiles à résoudre. Si l'on démontrait P = NP, avec une méthode efficace réellement trouvée, la plupart des chiffrements actuels devraient être remplacés.

Ce que l'on sait

P est inclus dans NP (tout ce qui se résout vite se vérifie aussi vite) : ce sens est évident et démontré. On ignore si l'inverse est vrai. Aucun problème n'a été démontré comme exigeant plus qu'un temps polynomial pour être résolu tout en restant facile à vérifier.

Ce qui reste non résolu

Une démonstration soit que P = NP (idéalement avec une méthode réellement efficace pour un problème NP), soit que P ≠ NP (qu'aucune telle méthode ne peut jamais exister pour au moins un problème NP-complet).

Progrès vérifiés, avec dates

1. 1971Stephen Cook formalise la question P contre NP et la notion de NP-complétude.
2. En coursDes décennies de tentatives de démonstration dans les deux sens. Plusieurs stratégies de démonstration connues ont été prouvées inopérantes (les résultats dits de « barrière »), ce qui resserre la recherche.

Sources

• Clay Mathematics Institute — P vs NP
• P versus NP problem — Wikipedia

Statut vérifié : 2 octobre 2026.

Les équations de Navier–Stokes décrivent le mouvement des fluides (eau, air) et sont utilisées avec succès chaque jour en météorologie et en ingénierie. La question mathématique ouverte est la suivante : en partant de n'importe quel écoulement initial lisse et raisonnable en 3D, les équations produisent-elles à coup sûr des solutions lisses et sensées pour toujours ? Ou bien les mathématiques elles-mêmes peuvent-elles développer une singularité (en pratique, une vitesse infinie en un point) en un temps fini, même si rien de physiquement impossible ne se produit ?

Pourquoi c'est important

Les équations sont utilisées en permanence dans la pratique. Ce problème porte sur la fiabilité complète de leurs fondements mathématiques dans tous les cas possibles, et non sur leur utilité (qui est évidente).

Ce que l'on sait

L'existence et la régularité sont démontrées en 2D. En 3D, on sait qu'il existe des solutions d'un type faible (moins régulier), mais la régularité complète pour tout temps n'a jamais été démontrée en général.

Ce qui reste non résolu

Avant 2026 : démontrer que les solutions restent toujours lisses, ou exhiber un véritable exemple où elles ne le restent pas. À la date de vérification du statut, une résolution revendiquée existe mais n'est pas encore confirmée officiellement (voir les progrès ci-dessous).

Progrès vérifiés, avec dates

1. Sept. 2026Un résultat portant sur le problème est annoncé, présenté en lien avec un travail de recherche d'OpenAI, et proposerait un cas d'explosion en temps fini.
2. 11 sept. 2026Le Clay Mathematics Institute déclare que le problème a « apparemment été réglé », en décrivant son processus d'évaluation comme « délibérément sans précipitation ».

Sources

• Clay Mathematics Institute — Navier–Stokes announcement
• OpenAI says it has solved one of math's 'Millennium Problems' — CNN Business

Statut vérifié : 2 octobre 2026.

La théorie de Yang–Mills sous-tend le fonctionnement des forces fondamentales en physique des particules, et les physiciens l'utilisent avec un immense succès expérimental. Il manque une construction mathématique entièrement rigoureuse de la théorie (et pas seulement une approximation qui marche en physique). Il manque aussi une démonstration qu'elle prédit nécessairement un « trou de masse » : la particule la plus légère permise par la théorie doit avoir une masse strictement positive, comme l'observent les expériences.

Pourquoi c'est important

Le problème se situe exactement à la jonction de la physique et des mathématiques pures. Le résoudre serait l'une des confirmations les plus profondes que les mathématiques sous-jacentes à la physique moderne sont logiquement inattaquables, et pas seulement efficaces en pratique.

Ce que l'on sait

La théorie de Yang–Mills fonctionne extrêmement bien en physique, confirmée avec une précision extraordinaire par les expériences des accélérateurs de particules. Une version mathématiquement rigoureuse existe dans certains cadres simplifiés (de dimension inférieure).

Ce qui reste non résolu

Une construction entièrement rigoureuse de la théorie quantique de Yang–Mills complète en dimension 4, et une démonstration que le trou de masse est une conséquence nécessaire de cette construction.

Progrès vérifiés, avec dates

1. 1954Chen Ning Yang et Robert Mills introduisent la théorie.
2. En coursDes constructions rigoureuses existent dans des cas simplifiés ou de dimension inférieure ; le cas physique complet reste ouvert.

Sources

• Clay Mathematics Institute — Yang–Mills and Mass Gap
• Yang–Mills existence and mass gap — Wikipedia

Statut vérifié : 2 octobre 2026.

La géométrie algébrique étudie les formes définies par des équations polynomiales. Ces formes ont des caractéristiques internes que l'on peut décrire avec la topologie (la forme au sens souple, où l'on peut étirer et plier). La conjecture de Hodge prédit que, pour une classe précise et bien sage de ces formes, chaque caractéristique topologique de ce type peut aussi être construite directement à partir de sous-formes algébriques (des morceaux qui sont eux-mêmes solutions d'équations polynomiales). En substance, deux façons différentes de regarder la même forme devraient toujours concorder.

Pourquoi c'est important

C'est une question fondamentale sur le lien entre deux grandes branches de la géométrie, la topologie et l'algèbre. Une démonstration les relierait bien plus étroitement qu'on ne le sait aujourd'hui.

Ce que l'on sait

Elle est démontrée dans de nombreux cas particuliers, de dimension inférieure ou symétriques.

Ce qui reste non résolu

Une démonstration générale, ou un contre-exemple, pour toute la classe de formes à laquelle la conjecture s'applique.

Progrès vérifiés, avec dates

1. 1950William Hodge présente la conjecture.
2. En coursVérifiée dans de nombreux cas particuliers ; aucune démonstration générale ni aucun contre-exemple.

Sources

• Clay Mathematics Institute — Hodge Conjecture
• Hodge conjecture — Wikipedia

Statut vérifié : 2 octobre 2026.

Une courbe elliptique est une équation de la forme y² = x³ + ax + b. Elle est au cœur de la cryptographie moderne et de la démonstration du dernier théorème de Fermat par Andrew Wiles. Certaines courbes elliptiques ont une infinité de solutions rationnelles, d'autres seulement un nombre fini. La conjecture affirme qu'on peut savoir de quel cas il s'agit, et estimer la « richesse » des solutions, uniquement à partir du comportement près d'un point précis d'une autre fonction construite à partir de la courbe (sa fonction L).

Pourquoi c'est important

Elle remplacerait une question aujourd'hui traitée au cas par cas et souvent difficile à calculer (« combien de solutions a cette courbe ? ») par une règle claire et démontrable, avec un intérêt direct pour la cryptographie et la théorie des nombres.

Ce que l'on sait

Elle est vérifiée par calcul pour un très grand nombre de courbes elliptiques particulières, et démontrée dans certains cas généraux restreints (par exemple les courbes de « rang » 0 ou 1).

Ce qui reste non résolu

Une démonstration générale qui couvre les courbes elliptiques de tous les rangs.

Progrès vérifiés, avec dates

1. Années 1960Bryan Birch et Peter Swinnerton-Dyer formulent la conjecture à partir d'expériences de calcul.
2. Années 1980–2020Démontrée pour les courbes de rang 0 et 1 par différents mathématiciens ; toujours ouverte en général.

Sources

• Clay Mathematics Institute — Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture
• Birch and Swinnerton-Dyer conjecture — Wikipedia

Statut vérifié : 2 octobre 2026.

En deux dimensions, c'est presque évident : toute boucle tracée sur la surface d'une sphère peut se resserrer en un point sans quitter la surface, alors qu'une boucle autour du trou d'un beignet ne le peut pas. La conjecture demandait si la même règle (« sans trou, c'est une sphère déguisée ») vaut une dimension plus haut, pour les formes à 3 dimensions dans un espace à 4 dimensions.

Pourquoi c'est important

C'était la dernière et la plus difficile des questions fondatrices de Henri Poincaré en topologie à être résolue. La technique utilisée pour la résoudre (le flot de Ricci) est devenue un outil majeur dans toute la géométrie.

Ce que l'on sait

Elle est démontrée. Les articles de Grigori Perelman de 2002–2003, qui s'appuient sur le programme du flot de Ricci de Richard Hamilton, ont fourni une démonstration complète, vérifiée de façon indépendante par plusieurs équipes vers 2006.

Ce qui reste non résolu

Rien : c'est le seul problème du prix du millénaire réellement résolu.

Progrès vérifiés, avec dates

1. 1904Henri Poincaré pose la conjecture.
2. 1982–2003Richard Hamilton développe le flot de Ricci comme outil ; Grigori Perelman l'utilise pour achever la démonstration.
3. Vers 2006Des équipes de vérification indépendantes confirment que la démonstration est correcte.
4. 2006Perelman se voit attribuer la médaille Fields, qu'il refuse.
5. 2010L'Institut Clay lui attribue officiellement le prix du millénaire d'un million de dollars, que Perelman refuse.

Sources

• Clay Mathematics Institute — Poincaré Conjecture
• Poincaré conjecture — Wikipedia

Statut vérifié : 2 octobre 2026.

Les paires comme (11, 13) se raréfient quand les nombres grandissent, mais elles continuent d'apparaître : (1 000 000 000 061, 1 000 000 000 063) en est un exemple très loin. La conjecture affirme que cela ne s'arrête jamais vraiment, aussi grands que deviennent les nombres.

Pourquoi c'est important

C'est l'une des plus anciennes questions ouvertes sur les nombres premiers, et l'une des plus simples à énoncer. Les progrès réalisés sur elle ont fait naître de nouvelles techniques de crible importantes, utilisées dans toute la théorie des nombres.

Ce que l'on sait

En 2013, Yitang Zhang a démontré qu'il existe une infinité de paires de nombres premiers séparées par UN écart borné (au départ moins de 70 millions) : pas forcément exactement 2, mais un écart fixe et fini. Les travaux qui ont suivi (notamment de James Maynard et Terence Tao) ont rapidement réduit cette borne à 246.

Ce qui reste non résolu

Faire descendre l'écart démontré de 246 jusqu'à exactement 2. On ne pense pas que les techniques de crible actuelles puissent combler cet écart sans une idée réellement nouvelle.

Progrès vérifiés, avec dates

1. 2013Yitang Zhang démontre qu'un écart borné entre nombres premiers apparaît une infinité de fois (moins de 70 000 000).
2. 2013–2014Le projet Polymath8 et James Maynard, de façon indépendante, réduisent la borne à 246.

Sources

• Twin prime conjecture — Wikipedia
• Bounded gaps between primes — Wikipedia

Statut vérifié : 2 octobre 2026.

100 = 3 + 97, ou 11 + 89, ou plusieurs autres paires ; 10 = 3 + 7 ou 5 + 5. La conjecture affirme que chaque nombre pair conserve cette propriété, aussi grand soit-il.

Pourquoi c'est important

C'est l'un des plus anciens problèmes non résolus de toutes les mathématiques (proposé en 1742), et un terrain d'essai naturel pour comprendre comment la structure additive et les nombres premiers interagissent.

Ce que l'on sait

Elle est vérifiée par ordinateur pour chaque nombre pair jusqu'à environ 4 × 10¹⁸. Un énoncé plus faible et apparenté (tout nombre impair supérieur à 5 est la somme de trois nombres premiers, la conjecture de Goldbach « faible » ou ternaire) a été entièrement démontré par Harald Helfgott en 2013.

Ce qui reste non résolu

Une démonstration générale de la version forte (à deux nombres premiers) pour chaque nombre pair, et pas seulement pour ceux vérifiés par ordinateur. Le résultat de Helfgott de 2013, véritable jalon, démontre un énoncé différent (trois nombres premiers, nombres impairs) et n'établit pas la version à deux nombres premiers.

Progrès vérifiés, avec dates

1. 1742Christian Goldbach propose la conjecture dans une lettre à Euler.
2. 2013Harald Helfgott démontre la version « ternaire » plus faible (trois nombres premiers, nombres impairs).
3. Années 2000–2020La vérification par ordinateur de la version forte (deux nombres premiers) dépasse 4 × 10¹⁸, sans aucune exception.

Sources

• Goldbach's conjecture — Wikipedia

Statut vérifié : 2 octobre 2026.

Prenez n'importe quel nombre entier. S'il est pair, divisez-le par deux. S'il est impair, multipliez-le par trois et ajoutez 1. Recommencez. Tous les nombres essayés de cette façon finissent par tomber sur 1, même s'ils montent et descendent d'abord. Essayez l'explorateur plus bas sur cette page pour le constater vous-même.

Pourquoi c'est important

Elle est célèbre pour être extraordinairement simple à énoncer et extraordinairement résistante à toute démonstration. Le mathématicien Paul Erdős aurait dit que les mathématiques n'étaient « pas encore prêtes » pour des problèmes comme celui-ci.

Ce que l'on sait

Elle est vérifiée par ordinateur pour chaque nombre de départ jusqu'à environ 2⁶⁸ (environ 300 trillions) : tous arrivent à 1. En 2019, Terence Tao a démontré que « presque tous » les nombres de départ (en un sens statistique précis) finissent par atteindre une très petite valeur, un résultat partiel majeur.

Ce qui reste non résolu

Une démonstration que CHAQUE nombre de départ, sans la moindre exception, arrive à 1. Le résultat de Tao de 2019, véritable jalon, n'exclut explicitement pas de rares exceptions.

Progrès vérifiés, avec dates

1. 1937Lothar Collatz propose la conjecture.
2. 2019Terence Tao démontre que presque toutes les orbites atteignent des valeurs presque bornées : un résultat majeur, mais pas complet.

Sources

• Collatz conjecture — Wikipedia

Statut vérifié : 2 octobre 2026.

6 est « parfait » : ses diviseurs 1, 2 et 3 ont pour somme 6. Tous les nombres parfaits connus (6, 28, 496, 8 128…) sont pairs. Personne n'en a jamais trouvé d'impair, et personne n'a démontré qu'il ne peut pas en exister.

Pourquoi c'est important

C'est une question d'existence simple à énoncer qui résiste à toute démonstration depuis plus de deux mille ans, et un terrain d'essai utile pour les techniques de la théorie multiplicative des nombres.

Ce que l'on sait

On a démontré qu'un nombre parfait impair, s'il existe, doit avoir une structure extrêmement contrainte : il doit être plus grand que 10¹⁵⁰⁰, avoir au moins 10 facteurs premiers distincts et satisfaire bien d'autres conditions étroites.

Ce qui reste non résolu

Soit une démonstration qu'aucun nombre parfait impair ne peut exister, en aucune circonstance, soit un véritable exemple (qui serait, s'il existe, d'une taille astronomique).

Progrès vérifiés, avec dates

1. En cours, XXe–XXIe sièclesUne longue suite de résultats resserre peu à peu la structure qu'un nombre parfait impair devrait avoir, sans exclure complètement son existence.

Sources

• Perfect number — Wikipedia

Statut vérifié : 2 octobre 2026.

Si a et b n'ont aucun facteur commun et que a + b = c, la conjecture relie la taille de c au produit des nombres premiers distincts qui divisent a, b et c (ce produit s'appelle le « radical »). En gros : c ne peut pas être beaucoup plus grand que ce radical, sauf de façon rare et contrôlée. C'est un énoncé profond sur la manière dont l'addition et la multiplication des entiers interagissent.

Pourquoi c'est important

Si elle était démontrée, elle entraînerait d'un seul coup de nombreux autres résultats et conjectures majeurs de la théorie des nombres, dont une forme forte du dernier théorème de Fermat pour tous les exposants sauf un nombre fini.

Ce que l'on sait

Shinichi Mochizuki a annoncé une démonstration présumée en 2012, à l'aide d'un nouveau cadre très technique qu'il appelle la théorie de Teichmüller inter-universelle (IUT).

Ce qui reste non résolu

L'acceptation large d'une démonstration correcte. La démonstration revendiquée par Mochizuki n'a pas été acceptée par la plupart des spécialistes.

Progrès vérifiés, avec dates

1. 2012Mochizuki publie en ligne quatre articles revendiquant une démonstration par la théorie IUT.
2. 2018Les mathématiciens Peter Scholze et Jakob Stix publient un rapport détaillé qui identifie ce qu'ils décrivent comme une lacune grave et non résolue dans l'argument.
3. 2021Les articles sont publiés dans les RIMS (une revue dont Mochizuki est rédacteur), sans répondre aux objections de Scholze et Stix d'une manière qui satisfasse la plupart des experts extérieurs.

Sources

• abc conjecture — Wikipedia
• Why abc is still a conjecture — Peter Scholze & Jakob Stix report (via Scholze's site)

Statut vérifié : 2 octobre 2026.

Elle généralise le dernier théorème de Fermat (qui est le cas particulier p = q = r). La conjecture affirme que, chaque fois qu'une telle équation a une solution avec tous les exposants supérieurs à 2, les trois nombres de base A, B et C ne peuvent pas être complètement premiers entre eux : ils doivent avoir au moins un facteur premier commun.

Pourquoi c'est important

C'est un prolongement naturel de l'un des problèmes résolus les plus célèbres des mathématiques (le dernier théorème de Fermat) : que se passe-t-il quand les exposants peuvent être différents ?

Ce que l'on sait

Aucun contre-exemple n'a jamais été trouvé ; la conjecture a été vérifiée numériquement sur un immense espace de recherche. L'homme d'affaires et passionné de mathématiques Andrew Beal offre personnellement un prix d'un million de dollars pour une démonstration ou un contre-exemple, géré par l'American Mathematical Society.

Ce qui reste non résolu

Une démonstration générale, ou un contre-exemple.

Progrès vérifiés, avec dates

1. 1993–1997Andrew Beal formule et fait connaître la conjecture, en offrant un prix.
2. En coursLe montant du prix a augmenté avec le temps (annoncé à un million de dollars) ; aucune démonstration ni aucun contre-exemple n'a été accepté.

Sources

• Beal conjecture — Wikipedia

Statut vérifié : 2 octobre 2026.

L'hypothèse de Riemann ordinaire (plus haut) porte sur une fonction précise. Les mathématiciens étudient aussi toute une famille de fonctions étroitement apparentées, chacune liée à des motifs dans les progressions arithmétiques (des nombres comme 3, 7, 11, 15… qui augmentent d'un pas fixe). L'HRG étend la même prédiction « zéros sur une seule droite » à toutes les fonctions de cette famille à la fois.

Pourquoi c'est important

Une grande partie de la théorie des nombres moderne (en particulier des résultats sur les nombres premiers dans les progressions arithmétiques, et plusieurs algorithmes de théorie algorithmique des nombres) est démontrée sous condition de l'HRG. Une démonstration rendrait tout cela inconditionnel.

Ce que l'on sait

Démontrer l'HRG démontrerait automatiquement l'hypothèse de Riemann ordinaire, comme cas particulier. L'HRG est donc, en un sens précis, une question ouverte encore plus difficile et strictement plus forte.

Ce qui reste non résolu

Tout ce dont l'hypothèse de Riemann ordinaire a encore besoin, étendu à une infinité de fonctions supplémentaires à la fois.

Progrès vérifiés, avec dates

1. En coursElle suit le même schéma de vérifications par calcul et de résultats analytiques partiels que l'hypothèse de Riemann ordinaire, étendu à davantage de fonctions, avec une couverture d'autant plus réduite à ce jour.

Sources

• Generalized Riemann hypothesis — Wikipedia

Statut vérifié : 2 octobre 2026.

Il existe plus d'une « taille » d'infini. Les nombres entiers (1, 2, 3…) sont en nombre infini, mais les nombres réels (chaque point d'une droite graduée, y compris tous les nombres décimaux entre les deux) forment un infini strictement plus grand. L'hypothèse du continu demande s'il existe une taille d'infini strictement comprise entre les deux, ou non.

Pourquoi c'est important

C'était le premier problème de la célèbre liste de 23 problèmes ouverts de David Hilbert en 1900. L'histoire de sa résolution a profondément changé ce que les mathématiciens pensent qu'une « démonstration » est seulement capable de trancher.

Ce que l'on sait

Ce n'est pas une conjecture ouverte ordinaire qui attend une idée ingénieuse. Kurt Gödel a démontré en 1940 que l'hypothèse du continu NE PEUT PAS être réfutée à partir des axiomes standard de la théorie des ensembles (ZFC). Paul Cohen a ensuite démontré en 1963 qu'elle NE PEUT PAS non plus être démontrée vraie à partir de ces mêmes axiomes. Ensemble, ces résultats signifient que l'hypothèse du continu est indépendante de ZFC : les règles standard des mathématiques ne disent tout simplement rien sur la question, dans un sens comme dans l'autre.

Ce qui reste non résolu

Il ne reste rien à démontrer dans la théorie des ensembles ZFC standard : cette question est close, définitivement, par les résultats de Gödel et Cohen. Ce qui reste est une question vraiment différente et toujours ouverte : faut-il ajouter à la théorie des ensembles un nouvel axiome, bien motivé de façon indépendante, qui la trancherait dans un sens ou dans l'autre ? C'est un domaine de recherche actif, mais de nature philosophiquement différente.

Progrès vérifiés, avec dates

1. 1878Georg Cantor pose l'hypothèse du continu.
2. 1900David Hilbert la place en tête de sa liste de 23 grands problèmes ouverts.
3. 1940Kurt Gödel démontre que l'HC ne peut pas être réfutée à partir de ZFC.
4. 1963Paul Cohen démontre que l'HC ne peut pas non plus être démontrée à partir de ZFC, ce qui établit l'indépendance.

Sources

• Continuum hypothesis — Wikipedia
• Independence (mathematical logic) — Wikipedia

Statut vérifié : 2 octobre 2026.