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गणित के अनसुलझे रहस्य: क्या अब भी खुला है?

देखरेख: Sudershan Soni स्थिति जाँची गई: 2 अक्टूबर 2026

यह 15 बड़ी अनसुलझी गणितीय समस्याओं का चुना हुआ संग्रह है (साथ में कुछ मशहूर समस्याएँ जिनके हल का दावा है, जिन पर विवाद है या जो इतिहास में हल हो चुकी हैं)। यह गणित के सभी खुले सवालों की पूरी सूची नहीं है। हर प्रविष्टि एक ही कसौटी पर लिखी गई है: क्या सच में सिद्ध हो चुका है, क्या सिर्फ़ अनुमान है, और इस अंतर का मतलब क्या है। नीचे हल हुईं — और कैसे में 11 ऐसी समस्याएँ हैं जो आख़िरकार सुलझ गईं: हाथ से, कंप्यूटर से, और अब AI से।

पाँच शब्द, जिनके पाँच अलग-अलग मतलब हैं

अनुमान (Conjecture)

एक सटीक गणितीय कथन, जिसे सबूतों या पैटर्न के आधार पर शायद सही माना जाता है, लेकिन जो अभी सिद्ध नहीं हुआ है।

प्रमाण (Proof)

एक तार्किक तर्क, जो दिखाता है कि कोई कथन बिना किसी अपवाद के हर एक स्थिति में सही है, सिर्फ़ जाँची गई स्थितियों में नहीं।

प्रति-उदाहरण (Counterexample)

एक असली उदाहरण, जहाँ कोई अनुमान ग़लत निकलता है। पहले चाहे कितने भी उदाहरण उसके पक्ष में रहे हों, यह एक उदाहरण ही उसे पूरी तरह ग़लत साबित करने के लिए काफ़ी है।

संख्यात्मक सबूत

इस बात की पुष्टि कि कोई कथन हर उस स्थिति में सही है जिसे सच में जाँचा गया। जाँची गई स्थितियाँ कितनी भी ज़्यादा हों, यह सभी स्थितियों को कवर करने वाले प्रमाण के बराबर कभी नहीं होता।

स्वतंत्रता (Independence)

इस बात का प्रमाण कि कोई कथन दिए गए शुरुआती नियमों (स्वयंसिद्धों) से न तो सिद्ध किया जा सकता है, न ग़लत साबित किया जा सकता है। यह एक अलग तरह का, अंतिम जवाब है, कोई खुला सवाल नहीं जो किसी चतुर विचार का इंतज़ार कर रहा हो।

उदाहरण जाँचना बनाम हर मामले के लिए सिद्ध करना

अब तक जाँचे गए उदाहरण: बढ़ते जा रहे हैं…

स्लाइडर को पूरी तरह दाईं ओर खींचिए। आप इसे चाहे जितना आगे बढ़ाएँ, पट्टी कभी “हर पूर्ण संख्या” तक नहीं पहुँचती — वे अनंत हैं, और कितनी भी जाँच, हाथ से या कंप्यूटर से, कभी पूरी नहीं हो सकती। यही मज़बूत संख्यात्मक संकेतों (जैसे कोलाट्ज़ के लिए पुष्ट 2⁶⁸ मामले) और गणितीय प्रमाण के बीच असली अंतर है, जो शुद्ध तर्क से एक साथ हर मामले को कवर करता है, और जाँचने के लिए कुछ भी बाकी नहीं छोड़ता।

नीचे हर "खुली" प्रविष्टि पढ़ते समय यह याद रखें: कितनी भी जाँच कर लें, वह काम उस तरह पूरा नहीं होता जैसे प्रमाण से होता है।

एक नज़र में

समस्या	क्षेत्र	स्थिति
रीमान परिकल्पना	संख्या सिद्धांत	खुली
P बनाम NP	कंप्यूटर विज्ञान / गणितीय तर्कशास्त्र	खुली
नेवियर–स्टोक्स: अस्तित्व और चिकनाई	द्रव गतिकी / आंशिक अवकल समीकरण	हल का दावा — जाँच जारी
यांग–मिल्स अस्तित्व और द्रव्यमान अंतराल	गणितीय भौतिकी	खुली
हॉज अनुमान	बीजगणितीय ज्यामिति	खुली
बर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान	संख्या सिद्धांत	खुली
पॉइनकेयर अनुमान	टोपोलॉजी	हल हो चुकी ऐतिहासिक समस्या
जुड़वाँ अभाज्य अनुमान (Twin Prime Conjecture)	संख्या सिद्धांत	खुली
मज़बूत गोल्डबाख अनुमान	संख्या सिद्धांत	खुली
कोलाट्ज़ अनुमान (3n + 1 समस्या)	संख्या सिद्धांत / गतिक तंत्र	खुली
क्या विषम पूर्ण संख्याएँ होती हैं?	संख्या सिद्धांत	खुली
abc अनुमान	संख्या सिद्धांत	विवादित प्रमाण
बील अनुमान	संख्या सिद्धांत	खुली
सामान्यीकृत रीमान परिकल्पना (GRH)	संख्या सिद्धांत	खुली
सांतत्य परिकल्पना (Continuum Hypothesis)	समुच्चय सिद्धांत / गणितीय तर्कशास्त्र	तय स्वयंसिद्धों से स्वतंत्र

15 में से 15 समस्याएँ दिखाई जा रही हैं।

खुली

रीमान परिकल्पना

संख्या सिद्धांत

क्या रीमान ज़ीटा फ़ंक्शन के सभी "अतुच्छ शून्यक" ठीक एक ख़ास रेखा पर पड़ते हैं?

पूरा विवरण

A-Level विस्तार

रीमान ज़ीटा फ़ंक्शन एक अनंत योग से बना गणितीय ऑब्जेक्ट है, जिसमें हैरानी की बात है कि अभाज्य संख्याओं के फैलाव के बारे में गहरी जानकारी छिपी है। कुछ ख़ास बिंदुओं पर इसका मान शून्य होता है। "तुच्छ" शून्यक अच्छी तरह समझे जा चुके हैं, लेकिन अनगिनत "अतुच्छ" शून्यक नहीं। यह परिकल्पना कहती है कि इनमें से हर एक शून्यक एक तय खड़ी रेखा पर है (जहाँ इनपुट का वास्तविक भाग 1/2 होता है)। कंप्यूटर से 10 ट्रिलियन से ज़्यादा शून्यक जाँचे जा चुके हैं, और हर एक ठीक इसी रेखा पर है।

सटीक कथन (गहरा स्तर)

ζ(s) के सभी अतुच्छ शून्यकों का वास्तविक भाग 1/2 है।

यह क्यों महत्वपूर्ण है

आज के गणित का बहुत बड़ा हिस्सा इस मान्यता पर टिका है कि RH सही है: सैकड़ों प्रकाशित प्रमेय "अगर RH सही है, तो सही" के रूप में लिखे गए हैं। एक प्रमाण उन सबको एक झटके में बिना शर्त तथ्य बना देगा, और अभाज्य संख्या प्रमेय की त्रुटि को उसके सबसे सटीक संभव रूप में तय कर देगा।

क्या पता है

10 ट्रिलियन से ज़्यादा शून्यक गणना से जाँचे गए हैं, और सब रेखा पर हैं। विश्लेषणात्मक तरीक़ों से, बिना गणना के, यह सिद्ध किया जा चुका है कि सभी शून्यकों का एक धनात्मक हिस्सा (40% से ज़्यादा) रेखा पर है।

क्या अब भी अनसुलझा है

एक ऐसा प्रमाण (या खंडन) जो अनगिनत शून्यकों में से हर एक को कवर करे, सिर्फ़ उन्हें नहीं जो जाँचे गए या जिन्हें आज के आंशिक परिणाम कवर करते हैं।

जाँची गई प्रगति, तारीखों के साथ

1859बर्नहार्ड रीमान अभाज्य संख्याओं के वितरण पर एक शोधपत्र में यह परिकल्पना रखते हैं।
2004–2020 का दशकगणना से जाँच 10 ट्रिलियन शून्यकों से आगे पहुँचती है, कोई अपवाद नहीं मिलता।

क्या यह प्रगति सवाल का फ़ैसला कर देती है?

संख्यात्मक सबूत और आंशिक विश्लेषणात्मक परिणाम बहुत मज़बूत हैं, लेकिन अनंत बाक़ी हिस्से के लिए कोई प्रमाण नहीं है। यह "सबूत, प्रमाण नहीं होता" का किताबी उदाहरण है।

स्रोत

स्थिति जाँची गई: 2 अक्टूबर 2026।

खुली

P बनाम NP

कंप्यूटर विज्ञान / गणितीय तर्कशास्त्र

क्या हर वह समस्या, जिसका हल जल्दी जाँचा जा सकता है, हमेशा जल्दी हल भी की जा सकती है, सिर्फ़ जाँची ही नहीं?

पूरा विवरण

स्नातक विस्तार

कुछ समस्याएँ, जैसे भरा हुआ सुडोकू या तय लंबाई से छोटा कोई प्रस्तावित डिलीवरी रूट, एक संभावित जवाब हाथ में हो तो लगभग तुरंत जाँची जा सकती हैं। P बनाम NP पूछता है कि क्या "जल्दी जाँची जाने वाली" समस्याओं की यह पूरी बड़ी श्रेणी, शुद्ध तर्क के स्तर पर, हमेशा शुरू से जल्दी हल भी की जा सकती है, या जाँचना और हल करना बुनियादी तौर पर अलग-अलग कठिनाइयाँ हैं।

सटीक कथन (गहरा स्तर)

क्या जटिलता वर्ग P (बहुपद समय में हल होने वाली) जटिलता वर्ग NP (बहुपद समय में जाँचे जा सकने वाले हल) के बराबर है?

यह क्यों महत्वपूर्ण है

आधुनिक क्रिप्टोग्राफ़ी का बड़ा हिस्सा (ऑनलाइन बैंकिंग को सुरक्षित रखने वाला एन्क्रिप्शन भी) इस बात पर टिका है कि कुछ समस्याएँ जाँचने में आसान, पर हल करने में कठिन हैं। अगर P = NP सिद्ध हो जाए और सच में कोई कुशल तरीक़ा मिल जाए, तो आज का ज़्यादातर एन्क्रिप्शन बदलना पड़ेगा।

क्या पता है

P, NP का उपसमुच्चय है (जो जल्दी हल हो सकता है, वह जल्दी जाँचा भी जा सकता है): यह दिशा सीधी है और सिद्ध है। उल्टा भी सही है या नहीं, यह पता नहीं। कोई भी समस्या ऐसी सिद्ध नहीं हुई है जिसे हल करने में बहुपद समय से ज़्यादा लगना ज़रूरी हो, फिर भी जाँचना आसान रहे।

क्या अब भी अनसुलझा है

या तो यह प्रमाण कि P = NP (आदर्श रूप से किसी NP समस्या के लिए सच में कुशल तरीक़े के साथ), या यह कि P ≠ NP (कि कम से कम एक NP-पूर्ण समस्या के लिए ऐसा तरीक़ा कभी हो ही नहीं सकता)।

जाँची गई प्रगति, तारीखों के साथ

1971स्टीफ़न कुक P बनाम NP सवाल और NP-पूर्णता को औपचारिक रूप देते हैं।
जारीदशकों से दोनों दिशाओं में प्रमाण की कोशिशें; कई जानी-मानी प्रमाण रणनीतियों के बारे में दिखाया जा चुका है कि वे काम नहीं कर सकतीं (तथाकथित "बाधा" परिणाम), जिससे खोज का दायरा छोटा हुआ है।

क्या यह प्रगति सवाल का फ़ैसला कर देती है?

बाधा परिणाम गणितज्ञों को बताते हैं कि कौन-सी प्रमाण तकनीकें पक्के तौर पर काम नहीं करेंगी, जो असली प्रगति है, लेकिन ये ख़ुद किसी भी दिशा में जवाब सिद्ध नहीं करते।

स्रोत

स्थिति जाँची गई: 2 अक्टूबर 2026।

हल का दावा — जाँच जारी

नेवियर–स्टोक्स: अस्तित्व और चिकनाई

द्रव गतिकी / आंशिक अवकल समीकरण

क्या तरल के बहाव का वर्णन करने वाले समीकरण हमेशा चिकने और ठीक व्यवहार वाले रहते हैं, या वे सीमित समय में "फट" सकते हैं?

पूरा विवरण

स्नातकोत्तर विस्तार

नेवियर–स्टोक्स समीकरण बताते हैं कि तरल और गैसें (पानी, हवा) कैसे चलती हैं, और मौसम के पूर्वानुमान और इंजीनियरिंग में रोज़ सफलता से इस्तेमाल होते हैं। खुला गणितीय सवाल यह है: 3D में किसी भी चिकने, सामान्य शुरुआती बहाव से शुरू करें, तो क्या समीकरण हमेशा के लिए चिकने, समझदार हल देते रहने की गारंटी देते हैं? या क्या गणित ख़ुद सीमित समय में कोई विचित्रता (असल में किसी बिंदु पर अनंत गति) पैदा कर सकता है, भले ही भौतिक रूप से कुछ भी असंभव न हो रहा हो?

यह क्यों महत्वपूर्ण है

ये समीकरण व्यवहार में लगातार इस्तेमाल होते हैं। यह समस्या इस बारे में है कि क्या इनकी गणितीय नींव हर संभव स्थिति में पूरी तरह भरोसेमंद है, इस बारे में नहीं कि ये उपयोगी हैं या नहीं (वे साफ़ तौर पर हैं)।

क्या पता है

2D में अस्तित्व और चिकनाई सिद्ध हैं। 3D में एक कमज़ोर (कम अच्छे व्यवहार वाले) तरह के हल का अस्तित्व पता है, लेकिन हर समय के लिए पूरी चिकनाई आम तौर पर कभी सिद्ध नहीं हुई।

क्या अब भी अनसुलझा है

2026 से पहले: यह सिद्ध करना कि हल हमेशा चिकने रहते हैं, या कोई असली उदाहरण दिखाना जहाँ वे नहीं रहते। स्थिति जाँचने की तारीख़ पर, हल का एक दावा मौजूद है, लेकिन अभी औपचारिक रूप से पुष्ट नहीं हुआ है — नीचे प्रगति देखें।

जाँची गई प्रगति, तारीखों के साथ

सितंबर 2026इस समस्या पर एक परिणाम की घोषणा होती है, जिसे OpenAI के एक शोध प्रयास से जोड़कर बताया गया है; रिपोर्टों के अनुसार इसमें सीमित समय में "फटने" का एक उदाहरण प्रस्तावित है।
11 सितंबर 2026क्ले मैथमैटिक्स इंस्टीट्यूट कहता है कि समस्या "लगता है सुलझ गई है", और अपनी जाँच प्रक्रिया को "जानबूझकर धीमी" बताता है।

क्या यह प्रगति सवाल का फ़ैसला कर देती है?

एक दावा किया गया है और क्ले इंस्टीट्यूट ने इसे प्रथम दृष्टया माना है। लेकिन इंस्टीट्यूट के अपने पुरस्कार नियमों के अनुसार किसी भी औपचारिक मान्यता से पहले किसी मान्य जर्नल में प्रकाशन और कम से कम दो साल तक गणित समुदाय की व्यापक स्वीकृति ज़रूरी है — इनमें से कुछ भी अभी नहीं हुआ है। "दावा किया गया" और "औपचारिक रूप से पुष्ट" सच में अलग-अलग बातें हैं; यह अंतर क्यों मायने रखता है, यह हमारे साथी लेख के "अंतर" बॉक्स में समझाया गया है।

स्रोत

स्थिति जाँची गई: 2 अक्टूबर 2026।

खुली

यांग–मिल्स अस्तित्व और द्रव्यमान अंतराल

गणितीय भौतिकी

क्या कण भौतिकी के स्टैंडर्ड मॉडल के पीछे के समीकरणों को गणितीय रूप से पूरी तरह कठोर बनाया जा सकता है, और क्या वे सच में "द्रव्यमान अंतराल" का होना ज़रूरी बनाते हैं?

पूरा विवरण

स्नातकोत्तर विस्तार

यांग–मिल्स सिद्धांत कण भौतिकी में मूलभूत बलों के काम करने के तरीक़े की नींव है, और भौतिकविज्ञानी इसे प्रयोगों में ज़बरदस्त सफलता के साथ इस्तेमाल करते हैं। कमी यह है कि इस सिद्धांत का पूरी तरह कठोर गणितीय निर्माण अभी नहीं है (सिर्फ़ भौतिकी में सफल सन्निकटन नहीं)। साथ ही यह प्रमाण भी नहीं है कि यह सिद्धांत ज़रूरी तौर पर "द्रव्यमान अंतराल" की भविष्यवाणी करता है: यानी सिद्धांत में जो सबसे हल्का कण संभव है, उसका द्रव्यमान सख़्ती से धनात्मक होना चाहिए, जैसा प्रयोगों में सच में दिखता है।

यह क्यों महत्वपूर्ण है

यह ठीक भौतिकी और शुद्ध गणित के मिलन-बिंदु पर है। इसे हल करना इस बात की सबसे गहरी पुष्टियों में से एक होगा कि आधुनिक भौतिकी के नीचे का गणित तार्किक रूप से बेदाग़ है, सिर्फ़ अनुभव में सफल नहीं।

क्या पता है

भौतिकी के रूप में यांग–मिल्स सिद्धांत बेहद अच्छा काम करता है और कण त्वरक प्रयोगों से असाधारण सटीकता के साथ पुष्ट है। कुछ सरल (कम विमा वाली) स्थितियों में इसका कठोर गणितीय रूप मौजूद है।

क्या अब भी अनसुलझा है

पूरे 4-विमीय क्वांटम यांग–मिल्स सिद्धांत का पूरी तरह कठोर निर्माण, और यह प्रमाण कि द्रव्यमान अंतराल उस निर्माण का ज़रूरी परिणाम है।

जाँची गई प्रगति, तारीखों के साथ

1954चेन निंग यांग और रॉबर्ट मिल्स यह सिद्धांत प्रस्तुत करते हैं।
जारीसरल या कम विमा वाली स्थितियों में कठोर निर्माण मौजूद हैं; पूरी भौतिक स्थिति खुली है।

क्या यह प्रगति सवाल का फ़ैसला कर देती है?

इसे सात मिलेनियम समस्याओं में तकनीकी रूप से सबसे कठिन में से एक माना जाता है। सीमित स्थितियों में असली प्रगति है, लेकिन उससे सामान्य स्थिति तय नहीं होती।

स्रोत

स्थिति जाँची गई: 2 अक्टूबर 2026।

खुली

हॉज अनुमान

बीजगणितीय ज्यामिति

बहुपद समीकरणों से बनी आकृतियों के एक अच्छे व्यवहार वाले परिवार में, क्या हर "स्वाभाविक" आंतरिक संरचना सच में सरल बीजगणितीय टुकड़ों से आती है?

पूरा विवरण

स्नातकोत्तर विस्तार

बीजगणितीय ज्यामिति बहुपद समीकरणों से परिभाषित आकृतियों का अध्ययन करती है। ऐसी आकृतियों की कुछ आंतरिक विशेषताएँ टोपोलॉजी (लचीले अर्थ में आकार, जिसमें खींचना और मोड़ना चलता है) से बताई जा सकती हैं। हॉज अनुमान कहता है कि इन आकृतियों की एक ख़ास, अच्छे व्यवहार वाली श्रेणी के लिए, इस तरह की हर टोपोलॉजिकल विशेषता सीधे बीजगणितीय उप-आकृतियों (ऐसे टुकड़े जो ख़ुद बहुपद समीकरणों के हल हैं) से भी बनाई जा सकती है। मूल बात यह है कि एक ही आकृति को देखने के दो अलग-अलग नज़रिए हमेशा एक जैसे नतीजे दें।

यह क्यों महत्वपूर्ण है

यह ज्यामिति की दो बड़ी शाखाओं — टोपोलॉजी और बीजगणित — के आपसी रिश्ते के बारे में एक बुनियादी सवाल है; एक प्रमाण इन दोनों को आज की जानकारी से कहीं ज़्यादा मज़बूती से जोड़ देगा।

क्या पता है

कई ख़ास, कम विमा वाली या सममित स्थितियों में सिद्ध हो चुका है।

क्या अब भी अनसुलझा है

उस पूरी श्रेणी की आकृतियों के लिए, जिन पर अनुमान लागू होता है, एक सामान्य प्रमाण या एक प्रति-उदाहरण।

जाँची गई प्रगति, तारीखों के साथ

1950विलियम हॉज यह अनुमान प्रस्तुत करते हैं।
जारीकई ख़ास स्थितियों में जाँचा गया; कोई सामान्य प्रमाण या प्रति-उदाहरण नहीं मिला।

क्या यह प्रगति सवाल का फ़ैसला कर देती है?

इसे आम पाठकों के लिए सटीक रूप से कहना भी सबसे कठिन समस्याओं में गिना जाता है, सिद्ध करना तो दूर की बात है। ख़ास स्थितियों की प्रगति से सामान्य कथन तक कोई रास्ता नहीं निकला है।

स्रोत

स्थिति जाँची गई: 2 अक्टूबर 2026।

खुली

बर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान

संख्या सिद्धांत

क्या किसी दीर्घवृत्तीय वक्र के कितने परिमेय हल हैं, यह सिर्फ़ एक जुड़े हुए फ़ंक्शन के व्यवहार से बताया जा सकता है?

पूरा विवरण

स्नातक विस्तार

दीर्घवृत्तीय वक्र (elliptic curve) y² = x³ + ax + b जैसे रूप का समीकरण है। यह आधुनिक क्रिप्टोग्राफ़ी और एंड्रयू वाइल्स के फ़र्मा के अंतिम प्रमेय के प्रमाण के केंद्र में है। कुछ दीर्घवृत्तीय वक्रों के अनगिनत परिमेय हल होते हैं, कुछ के सिर्फ़ गिने-चुने। यह अनुमान कहता है कि कौन-सी स्थिति है, और हल कितने "समृद्ध" हैं, यह सिर्फ़ वक्र से बने एक दूसरे फ़ंक्शन (उसके L-फ़ंक्शन) के किसी ख़ास बिंदु के पास के व्यवहार से बताया जा सकता है।

यह क्यों महत्वपूर्ण है

यह एक ऐसे सवाल ("इस वक्र के कितने हल हैं?") को, जो आज एक-एक करके और अक्सर कठिन गणना से हल होता है, एक साफ़, सिद्ध किए जा सकने वाले नियम से बदल देगा, जिसका क्रिप्टोग्राफ़ी और संख्या सिद्धांत से सीधा संबंध है।

क्या पता है

बहुत बड़ी संख्या में अलग-अलग दीर्घवृत्तीय वक्रों के लिए गणना से जाँचा गया है, और कुछ सीमित सामान्य स्थितियों में सिद्ध है (जैसे "रैंक" 0 या 1 वाले वक्र)।

क्या अब भी अनसुलझा है

हर रैंक के दीर्घवृत्तीय वक्रों के लिए एक सामान्य प्रमाण।

जाँची गई प्रगति, तारीखों के साथ

1960 का दशकब्रायन बर्च और पीटर स्विनर्टन-डायर गणना के प्रयोगों से यह अनुमान बनाते हैं।
1980–2020 के दशककई गणितज्ञों ने रैंक 0 और 1 वाले वक्रों के लिए सिद्ध किया; सामान्य रूप में खुला है।

क्या यह प्रगति सवाल का फ़ैसला कर देती है?

कुछ ख़ास, सीमित स्थितियों के लिए असली आंशिक प्रमाण हैं, जो सच्ची प्रगति है, लेकिन वे हर दीर्घवृत्तीय वक्र को कवर करने वाले सामान्य तर्क तक नहीं पहुँचते।

स्रोत

स्थिति जाँची गई: 2 अक्टूबर 2026।

हल हो चुकी ऐतिहासिक समस्या

पॉइनकेयर अनुमान

टोपोलॉजी

अगर किसी 3-विमीय आकृति में, सटीक टोपोलॉजिकल अर्थ में, कोई छेद नहीं है, तो क्या वह असल में एक (ऊँची विमा वाला) गोला ही है?

पूरा विवरण

स्नातक विस्तार

दो विमाओं में यह लगभग साफ़ है: गेंद की सतह पर बना कोई भी फंदा सतह छोड़े बिना सिकुड़कर एक बिंदु बन सकता है, जबकि डोनट के छेद के चारों ओर का फंदा नहीं। यह अनुमान पूछता था कि क्या यही नियम ("कोई छेद नहीं, तो असल में गोला") एक विमा ऊपर भी लागू होता है, यानी 4-विमीय स्थान में 3-विमीय आकृतियों पर।

यह क्यों महत्वपूर्ण है

यह टोपोलॉजी में आँरी पॉइनकेयर के बुनियादी सवालों में आख़िरी और सबसे कठिन था जो हल हुआ, और इसे हल करने की तकनीक (रिच्ची फ़्लो) पूरी ज्यामिति में एक बड़ा औज़ार बन गई है।

क्या पता है

सिद्ध हो चुका है। ग्रिगोरी पेरेलमान के 2002–2003 के शोधपत्रों ने, रिचर्ड हैमिल्टन के रिच्ची फ़्लो कार्यक्रम पर आधारित होकर, पूरा प्रमाण दिया, जिसे 2006 के आसपास तक कई टीमों ने स्वतंत्र रूप से जाँचा।

क्या अब भी अनसुलझा है

कुछ नहीं — यह मिलेनियम प्राइज़ की एकमात्र समस्या है जो सच में हल हो चुकी है।

जाँची गई प्रगति, तारीखों के साथ

1904आँरी पॉइनकेयर यह अनुमान रखते हैं।
1982–2003रिचर्ड हैमिल्टन औज़ार के रूप में रिच्ची फ़्लो विकसित करते हैं; ग्रिगोरी पेरेलमान उसी से प्रमाण पूरा करते हैं।
लगभग 2006स्वतंत्र जाँच टीमें पुष्टि करती हैं कि प्रमाण सही है।
2006पेरेलमान को फ़ील्ड्स मेडल दिया जाता है, जिसे वे ठुकरा देते हैं।
2010क्ले इंस्टीट्यूट औपचारिक रूप से 10 लाख डॉलर का मिलेनियम प्राइज़ देता है; पेरेलमान ठुकरा देते हैं।

क्या यह प्रगति सवाल का फ़ैसला कर देती है?

पूरी तरह सिद्ध और स्वतंत्र रूप से जाँचा हुआ — दावे और स्वीकृत प्रमाण के अंतर का सबसे साफ़ उदाहरण, क्योंकि इसने सच में हर पड़ाव पार किया।

स्रोत

स्थिति जाँची गई: 2 अक्टूबर 2026।

खुली

जुड़वाँ अभाज्य अनुमान (Twin Prime Conjecture)

संख्या सिद्धांत

क्या ठीक 2 के अंतर वाले अभाज्य संख्याओं के जोड़े, जैसे (11, 13) या (17, 19), अनगिनत हैं?

पूरा विवरण

A-Level विस्तार

(11, 13) जैसे जोड़े संख्याएँ बढ़ने के साथ कम होते जाते हैं, फिर भी मिलते रहते हैं: (1,000,000,000,061, 1,000,000,000,063) बहुत आगे का एक उदाहरण है। यह अनुमान कहता है कि संख्याएँ कितनी भी बड़ी हो जाएँ, यह सिलसिला कभी सच में ख़त्म नहीं होता।

यह क्यों महत्वपूर्ण है

यह अभाज्य संख्याओं के बारे में सबसे पुराने और कहने में सबसे आसान खुले सवालों में से एक है, और इस पर हुए काम से नई "छलनी" (sieve) तकनीकें निकलीं जो पूरे संख्या सिद्धांत में इस्तेमाल होती हैं।

क्या पता है

2013 में यीतांग झांग ने सिद्ध किया कि किसी न किसी सीमित अंतर (शुरू में 7 करोड़ से कम) वाले अभाज्य जोड़े अनगिनत हैं — ज़रूरी नहीं कि अंतर ठीक 2 हो, लेकिन एक तय, सीमित अंतर। आगे के काम (ख़ासकर जेम्स मेनार्ड और टेरेंस ताओ के) ने यह सीमा जल्दी ही घटाकर 246 कर दी।

क्या अब भी अनसुलझा है

सिद्ध अंतर को 246 से घटाकर ठीक 2 तक लाना — माना जाता है कि आज की छलनी तकनीकें किसी सच में नए विचार के बिना यह दूरी पार नहीं कर सकतीं।

जाँची गई प्रगति, तारीखों के साथ

2013यीतांग झांग सिद्ध करते हैं कि एक सीमित अभाज्य अंतर (70,000,000 से कम) अनगिनत बार आता है।
2013–14Polymath8 परियोजना और जेम्स मेनार्ड अलग-अलग इस सीमा को घटाकर 246 करते हैं।

क्या यह प्रगति सवाल का फ़ैसला कर देती है?

यह असली, सराही गई गणितीय प्रगति है — कोई न कोई सीमित अंतर होना सिद्ध करना एक ऐतिहासिक सफलता थी — लेकिन 246, 2 नहीं है, और आज किसी के पास ऐसी तकनीक नहीं है जो बाक़ी दूरी पार कर सके।

स्रोत

स्थिति जाँची गई: 2 अक्टूबर 2026।

खुली

मज़बूत गोल्डबाख अनुमान

संख्या सिद्धांत

क्या 2 से बड़ी हर सम संख्या को दो अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में लिखा जा सकता है?

पूरा विवरण

GCSE मूल

100 = 3 + 97, या 11 + 89, या कुछ और जोड़े; 10 = 3 + 7 या 5 + 5। यह अनुमान कहता है कि हर सम संख्या में यह गुण बना रहता है, चाहे वह कितनी भी बड़ी हो।

यह क्यों महत्वपूर्ण है

यह पूरे गणित की सबसे पुरानी अनसुलझी समस्याओं में से एक है (1742 में पहली बार रखी गई), और यह समझने का स्वाभाविक प्रयोग-क्षेत्र है कि जोड़ की संरचना और अभाज्य संख्याएँ आपस में कैसे जुड़ती हैं।

क्या पता है

कंप्यूटर से लगभग 4 × 10¹⁸ तक की हर सम संख्या के लिए जाँचा गया है। एक कमज़ोर, जुड़ा हुआ कथन — 5 से बड़ी हर विषम संख्या तीन अभाज्यों का योग है ("कमज़ोर" या त्रिक गोल्डबाख अनुमान) — 2013 में हैराल्ड हेल्फ़गॉट ने पूरी तरह सिद्ध किया।

क्या अब भी अनसुलझा है

दो-अभाज्य (मज़बूत) रूप का हर सम संख्या के लिए सामान्य प्रमाण, सिर्फ़ कंप्यूटर से जाँची गई संख्याओं के लिए नहीं। हेल्फ़गॉट का 2013 का परिणाम असली मील का पत्थर है, लेकिन वह एक अलग कथन (तीन अभाज्य, विषम संख्याएँ) सिद्ध करता है और दो-अभाज्य रूप को स्थापित नहीं करता।

जाँची गई प्रगति, तारीखों के साथ

1742क्रिश्चियन गोल्डबाख ऑयलर को लिखे एक पत्र में यह अनुमान रखते हैं।
2013हैराल्ड हेल्फ़गॉट कमज़ोर "त्रिक" रूप (तीन अभाज्य, विषम संख्याएँ) सिद्ध करते हैं।
2000–2020 के दशकमज़बूत (दो-अभाज्य) रूप की कंप्यूटर जाँच 4 × 10¹⁸ से आगे पहुँचती है, कोई अपवाद नहीं।

क्या यह प्रगति सवाल का फ़ैसला कर देती है?

हेल्फ़गॉट का परिणाम असली, पूरी तरह स्वीकृत प्रमाण है — लेकिन एक सच में अलग कथन का। इसे अक्सर ग़लती से ऐसे उद्धृत किया जाता है मानो इससे (अब भी खुला) दो-अभाज्य रूप हल हो गया हो।

स्रोत

Goldbach's conjecture — Wikipedia

स्थिति जाँची गई: 2 अक्टूबर 2026।

खुली

कोलाट्ज़ अनुमान (3n + 1 समस्या)

संख्या सिद्धांत / गतिक तंत्र

किसी भी पूर्ण संख्या से शुरू करके, अगर बार-बार सम संख्या को आधा करें और विषम संख्या को तिगुना करके 1 जोड़ें, तो क्या आख़िर में हमेशा 1 पर पहुँचेंगे?

पूरा विवरण

GCSE मूल

कोई भी पूर्ण संख्या लें। अगर वह सम है, तो उसे आधा करें। अगर विषम है, तो उसे तिगुना करके 1 जोड़ें। यही दोहराते रहें। अब तक इस तरह आज़माई गई हर संख्या, पहले चाहे कितनी भी ऊपर-नीचे भटके, आख़िर में 1 पर आ जाती है। ख़ुद देखने के लिए इस पेज पर नीचे दिया एक्सप्लोरर आज़माएँ।

यह क्यों महत्वपूर्ण है

यह कहने में बेहद आसान और सिद्ध करने में बेहद कठिन होने के लिए मशहूर है — कहा जाता है कि गणितज्ञ पॉल एर्डोश ने कहा था कि गणित ऐसी समस्याओं के लिए "अभी तैयार नहीं" है।

क्या पता है

कंप्यूटर से लगभग 2⁶⁸ (क़रीब 3 × 10²⁰) तक की हर शुरुआती संख्या के लिए जाँचा गया — सब 1 पर पहुँचती हैं। 2019 में टेरेंस ताओ ने सिद्ध किया कि (एक सटीक सांख्यिकीय अर्थ में) "लगभग सभी" शुरुआती संख्याएँ आख़िर में बहुत छोटे मान तक पहुँचती हैं — एक बड़ा आंशिक परिणाम।

क्या अब भी अनसुलझा है

यह प्रमाण कि हर शुरुआती संख्या, बिना किसी भी अपवाद के, 1 पर पहुँचती है — ताओ का 2019 का परिणाम असली मील का पत्थर है, लेकिन वह दुर्लभ अपवादों को साफ़ तौर पर ख़ारिज नहीं करता।

जाँची गई प्रगति, तारीखों के साथ

1937लोथार कोलाट्ज़ यह अनुमान रखते हैं।
2019टेरेंस ताओ सिद्ध करते हैं कि लगभग सभी कक्षाएँ लगभग सीमित मानों तक पहुँचती हैं — एक बड़ा, लेकिन अधूरा परिणाम।

क्या यह प्रगति सवाल का फ़ैसला कर देती है?

ताओ का परिणाम सच में अहम प्रगति है, जिसे ताओ ख़ुद बार-बार और सही-सही पूरे प्रमाण से कम बताते हैं — "लगभग सभी" एक सटीक तकनीकी शब्द है, जो अपवादों की गुंजाइश छोड़ता है।

स्रोत

Collatz conjecture — Wikipedia

स्थिति जाँची गई: 2 अक्टूबर 2026।

खुली

क्या विषम पूर्ण संख्याएँ होती हैं?

संख्या सिद्धांत

क्या कोई ऐसी विषम पूर्ण संख्या है जिसके उचित भाजकों (ख़ुद उसे छोड़कर) का योग ठीक उसी संख्या के बराबर हो?

पूरा विवरण

GCSE मूल

6 "पूर्ण संख्या" है: उसके भाजक 1, 2 और 3 जोड़ने पर 6 होते हैं। सभी ज्ञात पूर्ण संख्याएँ (6, 28, 496, 8128…) सम हैं। किसी को कभी कोई विषम पूर्ण संख्या नहीं मिली, और किसी ने यह भी सिद्ध नहीं किया कि वह हो ही नहीं सकती।

यह क्यों महत्वपूर्ण है

यह कहने में आसान अस्तित्व का सवाल है, जो दो हज़ार साल से ज़्यादा समय से हर प्रमाण को टालता आया है, और गुणात्मक संख्या सिद्धांत की तकनीकों के लिए एक उपयोगी प्रयोग-क्षेत्र है।

क्या पता है

यह सिद्ध हो चुका है कि अगर कोई विषम पूर्ण संख्या है, तो उसकी संरचना बेहद बँधी हुई होगी: वह 10¹⁵⁰⁰ से बड़ी होगी, उसके कम से कम 10 अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड होंगे, और उसे कई दूसरी कड़ी शर्तें पूरी करनी होंगी।

क्या अब भी अनसुलझा है

या तो यह प्रमाण कि कोई विषम पूर्ण संख्या किसी भी हाल में नहीं हो सकती, या एक असली उदाहरण (जो अगर है, तो खगोलीय रूप से बड़ा होगा)।

जाँची गई प्रगति, तारीखों के साथ

जारी, 20वीं–21वीं सदीपरिणामों की एक लंबी कड़ी किसी विषम पूर्ण संख्या की संभावित संरचना को धीरे-धीरे और सीमित करती जाती है, लेकिन उसके अस्तित्व को पूरी तरह ख़ारिज नहीं करती।

क्या यह प्रगति सवाल का फ़ैसला कर देती है?

दशकों के काम ने संभावनाओं का दायरा बेहद छोटा कर दिया है, पर पूरी तरह बंद नहीं किया — शर्तें जुड़ती गई हैं, लेकिन अब तक कोई विरोधाभास नहीं निकला।

स्रोत

Perfect number — Wikipedia

स्थिति जाँची गई: 2 अक्टूबर 2026।

विवादित प्रमाण

abc अनुमान

संख्या सिद्धांत

बिना साझा गुणनखंड वाली तीन पूर्ण संख्याओं a + b = c के लिए, क्या इस बात की कोई सटीक सीमा है कि a, b और c के अभाज्य गुणनखंड मिलकर कितने "छोटे" हो सकते हैं?

पूरा विवरण

स्नातकोत्तर विस्तार

अगर a और b का कोई साझा गुणनखंड नहीं है और a + b = c है, तो यह अनुमान c के आकार को उन अलग-अलग अभाज्य संख्याओं के गुणनफल से जोड़ता है जो a, b और c को मिलाकर विभाजित करती हैं (इसे "रेडिकल" कहते हैं)। मोटे तौर पर: c उस रेडिकल से बहुत ज़्यादा बड़ा नहीं हो सकता, सिवाय एक नियंत्रित, दुर्लभ तरीक़े के। यह पूर्ण संख्याओं के जोड़ और गुणा के आपसी रिश्ते के बारे में एक गहरा कथन है।

यह क्यों महत्वपूर्ण है

अगर यह सिद्ध हो जाए, तो एक ही झटके में संख्या सिद्धांत के कई दूसरे बड़े परिणाम और अनुमान निकल आएँगे, जिनमें गिने-चुने घातांकों को छोड़कर बाक़ी सभी के लिए फ़र्मा के अंतिम प्रमेय का एक मज़बूत रूप भी शामिल है।

क्या पता है

शिनइची मोचिज़ुकी ने 2012 में एक कथित प्रमाण की घोषणा की, जिसमें उन्होंने एक नया, बेहद तकनीकी ढाँचा इस्तेमाल किया जिसे वे इंटर-यूनिवर्सल टाइशम्युलर (IUT) सिद्धांत कहते हैं।

क्या अब भी अनसुलझा है

किसी सही प्रमाण की व्यापक स्वीकृति। मोचिज़ुकी के दावे वाले प्रमाण को ज़्यादातर विशेषज्ञ गणितज्ञों ने स्वीकार नहीं किया है।

जाँची गई प्रगति, तारीखों के साथ

2012मोचिज़ुकी IUT सिद्धांत के ज़रिए प्रमाण का दावा करने वाले चार शोधपत्र ऑनलाइन डालते हैं।
2018गणितज्ञ पीटर शोल्ज़ और याकोब स्टिक्स एक विस्तृत रिपोर्ट प्रकाशित करते हैं, जिसमें वे तर्क में एक गंभीर, अनसुलझी कमी बताते हैं।
2021शोधपत्र RIMS (मोचिज़ुकी द्वारा संपादित एक जर्नल) में छपते हैं, लेकिन शोल्ज़–स्टिक्स की आपत्तियाँ बाहर के ज़्यादातर विशेषज्ञों के संतोष लायक़ हल नहीं होतीं।

क्या यह प्रगति सवाल का फ़ैसला कर देती है?

आधुनिक गणित में "प्रमाण प्रकाशित हुआ" और "प्रमाण व्यापक रूप से स्वीकृत है" के बीच के अंतर का यह सबसे साफ़ उदाहरण है — जर्नल में प्रकाशन से विशेषज्ञों का मतभेद ख़त्म नहीं हुआ, जो सच में अब भी अनसुलझा है।

स्रोत

स्थिति जाँची गई: 2 अक्टूबर 2026।

खुली

बील अनुमान

संख्या सिद्धांत

अगर Aᵖ + Bᵍ = Cʳ (जहाँ p, q, r सभी 2 से बड़े हों), तो क्या A, B और C का कोई साझा अभाज्य गुणनखंड होना ज़रूरी है?

पूरा विवरण

A-Level विस्तार

यह फ़र्मा के अंतिम प्रमेय (जो p = q = r वाली ख़ास स्थिति है) का सामान्यीकरण है। यह अनुमान कहता है कि जब भी ऐसे समीकरण का कोई हल हो जिसमें सभी घातांक 2 से बड़े हों, तो तीनों आधार संख्याएँ A, B, C पूरी तरह सह-अभाज्य नहीं हो सकतीं — उनका कम से कम एक साझा अभाज्य गुणनखंड होना ही चाहिए।

यह क्यों महत्वपूर्ण है

यह गणित की सबसे मशहूर हल हो चुकी समस्याओं में से एक (फ़र्मा का अंतिम प्रमेय) का स्वाभाविक विस्तार है, जो पूछता है कि घातांक अलग-अलग हों तो क्या होता है।

क्या पता है

कोई प्रति-उदाहरण कभी नहीं मिला; इस अनुमान को एक विशाल खोज-दायरे में संख्यात्मक रूप से जाँचा गया है। व्यवसायी और गणित-प्रेमी एंड्रयू बील ने ख़ुद प्रमाण या प्रति-उदाहरण के लिए 10 लाख डॉलर का पुरस्कार रखा है, जिसकी देखरेख अमेरिकन मैथमैटिकल सोसाइटी करती है।

क्या अब भी अनसुलझा है

एक सामान्य प्रमाण, या एक प्रति-उदाहरण।

जाँची गई प्रगति, तारीखों के साथ

1993–97एंड्रयू बील यह अनुमान बनाते हैं, इसे लोकप्रिय करते हैं और पुरस्कार रखते हैं।
जारीपुरस्कार राशि समय के साथ बढ़ी है (बताई गई राशि 10 लाख डॉलर); कोई प्रमाण या प्रति-उदाहरण स्वीकार नहीं हुआ।

क्या यह प्रगति सवाल का फ़ैसला कर देती है?

एक बड़ी और लगातार बढ़ती कंप्यूटर खोज में एक भी प्रति-उदाहरण नहीं मिला है, जो संकेत देता है — लेकिन इस पेज के दूसरे संख्यात्मक रूप से जाँचे गए अनुमानों की तरह ही — यह प्रमाण नहीं है।

स्रोत

Beal conjecture — Wikipedia

स्थिति जाँची गई: 2 अक्टूबर 2026।

खुली

सामान्यीकृत रीमान परिकल्पना (GRH)

संख्या सिद्धांत

क्या "सभी शून्यक एक रेखा पर" वाला यही पैटर्न सिर्फ़ रीमान ज़ीटा फ़ंक्शन के लिए नहीं, बल्कि जुड़े हुए फ़ंक्शनों के एक कहीं बड़े परिवार (डिरिक्ले L-फ़ंक्शन) के लिए भी सही है?

पूरा विवरण

स्नातकोत्तर विस्तार

सामान्य रीमान परिकल्पना (ऊपर) एक ख़ास फ़ंक्शन के बारे में है। गणितज्ञ आपस में गहराई से जुड़े फ़ंक्शनों के एक पूरे परिवार का भी अध्ययन करते हैं, जिनमें से हर एक समांतर श्रेणियों (3, 7, 11, 15… जैसी संख्याएँ जो तय अंतर से बढ़ती हैं) के पैटर्न से जुड़ा है। GRH वही "शून्यक एक रेखा पर" वाली भविष्यवाणी उस पूरे परिवार के हर फ़ंक्शन पर एक साथ लागू करती है।

यह क्यों महत्वपूर्ण है

आधुनिक संख्या सिद्धांत का बड़ा हिस्सा — ख़ासकर समांतर श्रेणियों में अभाज्य संख्याओं के बारे में परिणाम, और संगणनात्मक संख्या सिद्धांत के कई एल्गोरिदम — GRH को मानकर सिद्ध किया गया है; एक प्रमाण यह सब बिना शर्त बना देगा।

क्या पता है

GRH को सिद्ध करने से सामान्य रीमान परिकल्पना अपने-आप एक ख़ास स्थिति के रूप में सिद्ध हो जाएगी — इसलिए GRH, एक सटीक अर्थ में, उससे भी कठिन और सख़्ती से ज़्यादा मज़बूत खुला सवाल है।

क्या अब भी अनसुलझा है

सामान्य रीमान परिकल्पना को अब भी जो कुछ चाहिए, वह सब, एक साथ अनगिनत अतिरिक्त फ़ंक्शनों तक फैलाकर।

जाँची गई प्रगति, तारीखों के साथ

जारीयह सामान्य रीमान परिकल्पना जैसा ही पैटर्न दिखाती है — गणना से जाँच और आंशिक विश्लेषणात्मक परिणाम — बस ज़्यादा फ़ंक्शनों पर, इसलिए अब तक का दायरा भी उसी हिसाब से कम है।

क्या यह प्रगति सवाल का फ़ैसला कर देती है?

चूँकि GRH से RH निकलती है, और RH ख़ुद अब तक सिद्ध नहीं हुई, इसलिए GRH अभी RH से ज़्यादा हल के क़रीब नहीं हो सकती — उसे वही खुली स्थिति विरासत में मिलती है, एक सख़्ती से बड़ी समस्या के लिए।

स्रोत

Generalized Riemann hypothesis — Wikipedia

स्थिति जाँची गई: 2 अक्टूबर 2026।

तय स्वयंसिद्धों से स्वतंत्र

सांतत्य परिकल्पना (Continuum Hypothesis)

समुच्चय सिद्धांत / गणितीय तर्कशास्त्र

क्या अनंत का कोई ऐसा "आकार" है जो पूर्ण संख्याओं के आकार और वास्तविक संख्याओं के आकार के ठीक बीच में हो?

पूरा विवरण

स्नातकोत्तर विस्तार

अनंत का एक से ज़्यादा "आकार" होता है। पूर्ण संख्याएँ (1, 2, 3…) अनगिनत हैं, लेकिन वास्तविक संख्याएँ (संख्या रेखा का हर बिंदु, बीच के सभी दशमलवों समेत) सख़्ती से बड़ा अनंत बनाती हैं। सांतत्य परिकल्पना पूछती है कि क्या इन दोनों के ठीक बीच का कोई अनंत आकार है या नहीं।

यह क्यों महत्वपूर्ण है

यह डेविड हिल्बर्ट की 1900 की मशहूर 23 खुली समस्याओं की सूची में पहली थी, और इसके हल की कहानी ने बुनियादी तौर पर बदल दिया कि गणितज्ञ "प्रमाण" से क्या-क्या तय हो सकता है, यह कैसे समझते हैं।

क्या पता है

यह कोई आम खुला अनुमान नहीं है जो किसी चतुर विचार का इंतज़ार कर रहा हो। कर्ट गोडेल ने 1940 में सिद्ध किया कि समुच्चय सिद्धांत के मानक स्वयंसिद्धों (ZFC) से सांतत्य परिकल्पना को ग़लत साबित नहीं किया जा सकता। फिर पॉल कोहेन ने 1963 में सिद्ध किया कि उन्हीं स्वयंसिद्धों से इसे सही भी सिद्ध नहीं किया जा सकता। इन दोनों परिणामों का मिलकर मतलब है कि सांतत्य परिकल्पना ZFC से स्वतंत्र है: गणित के मानक नियम इस सवाल पर किसी भी दिशा में कुछ नहीं कहते।

क्या अब भी अनसुलझा है

मानक ZFC समुच्चय सिद्धांत के भीतर सिद्ध करने को कुछ नहीं बचा — गोडेल और कोहेन के परिणामों ने यह सवाल हमेशा के लिए बंद कर दिया है। जो बचा है वह एक सच में अलग, जारी सवाल है: क्या समुच्चय सिद्धांत में कोई नया, स्वतंत्र रूप से अच्छी तरह प्रेरित स्वयंसिद्ध जोड़ा जाना चाहिए जो इसे किसी एक दिशा में तय कर दे — यह एक सक्रिय, लेकिन दार्शनिक रूप से अलग तरह का शोध-क्षेत्र है।

जाँची गई प्रगति, तारीखों के साथ

1878गेओर्ग कैंटर सांतत्य परिकल्पना रखते हैं।
1900डेविड हिल्बर्ट इसे 23 बड़ी खुली समस्याओं में पहले स्थान पर रखते हैं।
1940कर्ट गोडेल सिद्ध करते हैं कि CH को ZFC से ग़लत साबित नहीं किया जा सकता।
1963पॉल कोहेन सिद्ध करते हैं कि CH को ZFC से सिद्ध भी नहीं किया जा सकता, जिससे स्वतंत्रता स्थापित होती है।

क्या यह प्रगति सवाल का फ़ैसला कर देती है?

स्वतंत्रता ख़ुद ZFC के भीतर अंतिम, पूरा जवाब है — यह इस पेज की बाक़ी हर प्रविष्टि से बुनियादी तौर पर अलग है, जहाँ "खुला" का मतलब "अभी सिद्ध नहीं हुआ" है, न कि "सिद्ध हो चुका कि सिद्ध नहीं हो सकता"।

स्रोत

स्थिति जाँची गई: 2 अक्टूबर 2026।

कभी खुली, अब सुलझी

हल हुईं — और कैसे

नीचे दी गई हर समस्या कभी ठीक वहीं थी जहाँ आज ऊपर की खुली समस्याएँ हैं। कुछ शुद्ध मानवीय तर्क से हल हुईं। कुछ के लिए कंप्यूटर की ज़रूरत पड़ी, जिसने इतनी स्थितियाँ जाँचीं जितनी कोई इंसान नहीं जाँच सकता। और 2025 से एक नया समूह सामने आया है: ऐसे परिणाम जिनमें मुख्य विचार AI ने ख़ुद खोजा। हर एक के लिए हम साफ़-साफ़ बताते हैं कि मशीन ने असल में क्या किया और परिणाम की जाँच कैसे हुई। स्थिति जाँची गई: 3 अक्टूबर 2026।

हाथ से हलकंप्यूटर की मदद से प्रमाणकंप्यूटर ने खोजा प्रमाणAI युग का परिणाम

हाथ से हल

फ़र्मा का अंतिम प्रमेय

रखी गई: 1637 · हल हुई: 1994 (1995 में प्रकाशित)

एंड्रयू वाइल्स, रिचर्ड टेलर के साथ

जब n, 2 से बड़ा हो, तो क्या aⁿ + bⁿ = cⁿ कभी पूर्ण संख्याओं में सही हो सकता है?

पिएर द फ़र्मा ने एक किताब के हाशिये पर लिखा कि उनके पास इस बात का एक अद्भुत प्रमाण है कि जवाब "नहीं" है — और हाशिया उसे लिखने के लिए बहुत छोटा है। 358 साल तक किसी को प्रमाण नहीं मिला। एंड्रयू वाइल्स ने सात साल तक ज़्यादातर चुपचाप इस पर काम किया, 1993 में प्रमाण की घोषणा की, फिर उसमें एक कमी पाई; अपने पूर्व छात्र रिचर्ड टेलर के साथ उन्होंने 1994 में उसे ठीक किया।

कंप्यूटर या AI ने क्या किया

कोई नहीं। यह पूरी तरह मानवीय तर्क से सिद्ध हुए किसी गहरे परिणाम का क्लासिक आधुनिक उदाहरण है।

हम कैसे जानते हैं कि यह सही है

विशेषज्ञों की समीक्षा के बाद 1995 में Annals of Mathematics में प्रकाशित; सर्वमान्य।

Fermat's Last Theorem — Wikipedia

कंप्यूटर की मदद से प्रमाण

चार रंग प्रमेय

रखी गई: 1852 · हल हुई: 1976

केनेथ एपेल और वोल्फ़गैंग हाकेन

क्या हर समतल नक्शे को सिर्फ़ चार रंगों से ऐसे रंगा जा सकता है कि कोई भी दो पड़ोसी देश एक रंग के न हों?

1852 में फ़्रांसिस गुथरी ने देखा कि इंग्लैंड की काउंटियों के नक्शे के लिए चार रंग हमेशा काफ़ी लगते थे। एपेल और हाकेन ने पूरी समस्या को लगभग दो हज़ार ख़ास नक्शा-विन्यासों की जाँच तक घटा दिया — जो हाथ से जाँचने के लिए बहुत ज़्यादा थे — और उन्हें जाँचने में हज़ार घंटे से ज़्यादा कंप्यूटर समय लगाया। यह पहला मशहूर प्रमेय था जिसका पूरा प्रमाण कोई इंसान पढ़ नहीं सकता था।

कंप्यूटर या AI ने क्या किया

उन सभी विन्यासों में से हर एक की जाँच की, जिन तक मानवीय तर्क ने समस्या को घटाया था।

हम कैसे जानते हैं कि यह सही है

शुरू में विवादित रहा, क्योंकि कोई इसे हाथ से जाँच नहीं सकता था। 1996 में एक सरल कंप्यूटर प्रमाण आया (रॉबर्टसन, सैंडर्स, सेमुर और थॉमस), और 2005 में जॉर्ज गोंटियर और बेंजामिन वर्नर ने पूरे प्रमाण को Coq प्रूफ़ असिस्टेंट में जाँचा — हर तार्किक क़दम मशीन से सत्यापित।

Four colour theorem — Wikipedia

चित्रण: चार रंगों की ज़रूरत क्यों पड़ सकती है

एक घेरे में पाँच क्षेत्रों को आपस में तीन रंग चाहिए; पाँचों को छूने वाले बीच के क्षेत्र को चौथा रंग चाहिए। प्रमेय कहता है कि किसी भी नक्शे के लिए चार रंग हमेशा काफ़ी हैं।

कंप्यूटर ने खोजा प्रमाण

रॉबिन्स अनुमान

रखी गई: 1930 का दशक · हल हुई: 1996

विलियम मैक्यून का स्वचालित प्रमाणक EQP (आर्गोन नेशनल लेबोरेटरी)

क्या तीन सरल नियम (रॉबिन्स के स्वयंसिद्ध) ठीक वही बीजगणित बताते हैं जो मानक बूलियन बीजगणित — हर कंप्यूटर चिप के भीतर का तर्क — बताता है?

हर्बर्ट रॉबिन्स ने 1933 के कुछ ही बाद यह सवाल रखा, और सदी के कुछ सबसे बेहतरीन तर्कशास्त्रियों ने, जिनमें आल्फ़्रेड तार्स्की भी थे, कोशिश की और नाकाम रहे। 1996 में विलियम मैक्यून के स्वचालित प्रमेय-प्रमाणक EQP ने ख़ुद प्रमाण खोजा और लगभग आठ दिन की गणना के बाद उसे पा लिया।

कंप्यूटर या AI ने क्या किया

प्रमाण ख़ुद खोजा — सिर्फ़ किसी इंसान की बनाई स्थितियाँ नहीं जाँचीं। इस तरह तय हुई पहली सच में खुली समस्याओं में से एक।

हम कैसे जानते हैं कि यह सही है

प्रमाण इतना छोटा था कि इंसान उसे पढ़कर जाँच सकते थे, और वह सही पाया गया।

Robbins algebra — Wikipedia

कंप्यूटर की मदद से प्रमाण

केप्लर अनुमान

रखी गई: 1611 · हल हुई: 1998 (2014 में औपचारिक रूप से सत्यापित)

थॉमस हेल्स, सैमुअल फ़र्ग्युसन के साथ

क्या सब्ज़ीवाले के ठेले पर संतरों का पिरामिड एक जैसे गोलों को सबसे घना जमाने का तरीक़ा है?

योहानेस केप्लर ने 1611 में दावा किया कि एक जैसे गोलों की कोई भी जमावट उस जानी-पहचानी चट्टे वाली जमावट से बेहतर नहीं, जो लगभग 74% जगह भरती है। थॉमस हेल्स ने इस समस्या को हज़ारों संभावित व्यवस्थाओं पर एक विशाल अनुकूलन (optimisation) समस्या में बदला, उसे कंप्यूटरों से हल किया और 1998 में प्रमाण की घोषणा की। समीक्षकों ने कहा कि वे "99% निश्चित" हैं कि यह सही है, लेकिन हर गणना नहीं जाँच सके।

कंप्यूटर या AI ने क्या किया

हज़ारों अनुकूलन समस्याएँ हल कीं, जो मिलकर हर ज़्यादा घनी व्यवस्था को ख़ारिज करती हैं।

हम कैसे जानते हैं कि यह सही है

बचे हुए संदेह को दूर करने के लिए हेल्स ने Flyspeck परियोजना का नेतृत्व किया, जिसने पूरे प्रमाण को प्रूफ़-असिस्टेंट सॉफ़्टवेयर में जाँचा। यह 2014 में पूरी हुई, इसलिए यह परिणाम अब पूरी तरह मशीन से सत्यापित है।

चित्रण: फल वाले का ढेर

इस व्यवस्था का घनत्व: π / √18 ≈ 74.05% जगह भरी

केप्लर का दावा: एक जैसे गोलों की कोई भी व्यवस्था इस जानी-पहचानी जमावट से ज़्यादा घनी जगह नहीं भरती। 1998 में कंप्यूटर की भारी मदद से सिद्ध; 2014 में पूरी तरह मशीन से सत्यापित।

कंप्यूटर की मदद से प्रमाण

बूलियन पाइथागोरियन त्रिक समस्या

रखी गई: 1980 का दशक · हल हुई: 2016

मारेन ह्यूले, ओलिवर कुलमान और विक्टर मारेक

क्या पूर्ण संख्याओं को लाल या नीले रंग में ऐसे रंगा जा सकता है कि कोई भी पाइथागोरियन त्रिक (जैसे 3, 4, 5) पूरा एक ही रंग का न हो?

रोनाल्ड ग्राहम ने जवाब के लिए 100 डॉलर का इनाम रखा था। एक "SAT सॉल्वर" — विशाल सही/ग़लत तर्क-पहेलियों का सॉफ़्टवेयर — टेक्सास के Stampede सुपरकंप्यूटर पर लगभग दो दिन चला। जवाब: 1 से 7,824 तक की हर संख्या के लिए यह हो सकता है, लेकिन 7,825 पर यह असंभव हो जाता है।

कंप्यूटर या AI ने क्या किया

चतुराई से छाँटी गई लगभग एक लाख करोड़ स्थितियाँ खोजीं और एक प्रमाणपत्र बनाया कि हर एक स्थिति नाकाम होती है।

हम कैसे जानते हैं कि यह सही है

प्रमाणपत्र 200 टेराबाइट का था — उस समय Nature ने इसे अब तक का सबसे बड़ा गणितीय प्रमाण बताया — और इसे स्वतंत्र प्रमाण-जाँच सॉफ़्टवेयर ने जाँचा। ह्यूले को ग्राहम का 100 डॉलर का इनाम मिला।

ख़ुद आज़माइए: 1 से 40 को ऐसे रंगें कि कोई पाइथागोरियन त्रिक एक रंग की न हो

किसी संख्या पर टैप करके उसे नीले और लाल के बीच बदलें। लक्ष्य: कोई भी त्रिक a² + b² = c² (जैसे 3, 4, 5) पूरी एक रंग की नहीं होनी चाहिए। टकराव वाली त्रिक की संख्याओं पर गहरा घेरा आता है।

16 एक-रंगी त्रिकें: 3–4–5, 5–12–13, 6–8–10, 7–24–25…

1 से 40 तक आसान है। एक कंप्यूटर ने दिखाया कि यह 7,824 तक संभव रहता है — और 7,825 पर असंभव हो जाता है।

कंप्यूटर की मदद से प्रमाण

केलर अनुमान (विमा 7)

रखी गई: 1930 · हल हुई: 2019

जोशुआ ब्राकेनसीक, मारेन ह्यूले, जॉन मैकी और डेविड नारवाएज़

अगर स्थान को एक जैसे घनों से भर दें, तो क्या कम से कम दो घनों का एक पूरा फलक साझा होना ज़रूरी है?

ओट-हाइनरिख़ केलर ने यह सवाल हर विमा के लिए पूछा। यह विमा 6 तक सही और विमा 8 से ऊपर ग़लत सिद्ध हुआ — इसलिए दशकों तक विमा 7 आख़िरी ख़ाली जगह रही। 2019 में एक टीम ने इस सवाल को SAT समस्या में बदला और दिखाया कि सात विमाओं में यह अनुमान सही है।

कंप्यूटर या AI ने क्या किया

समरूपता से छोटी की गई पूरी खोज से आख़िरी बची स्थिति तय की।

हम कैसे जानते हैं कि यह सही है

लगभग 200 गीगाबाइट का प्रमाण-प्रमाणपत्र बना, जिसे स्वतंत्र प्रमाण-जाँच सॉफ़्टवेयर ने जाँचा।

Keller's conjecture — Wikipedia

हाथ से हल

तीन विमाओं में काकेया अनुमान

रखी गई: 1917 (सुई की समस्या); आधुनिक रूप में अनुमान बाद में · हल हुई: 2025

हॉन्ग वांग और जोशुआ ज़ाल

अगर किसी समुच्चय में एक सुई हर दिशा में इशारा कर सके, तो उस समुच्चय को कितना "बड़ा" होना होगा?

सोइची काकेया ने पूछा था कि एक सुई को पूरा घुमाने के लिए कम से कम कितनी जगह चाहिए। तीन विमाओं में आधुनिक सवाल क्षेत्रफल के बजाय विमा के बारे में है: क्या ऐसे समुच्चय को पूरी तरह त्रि-विमीय होना ज़रूरी है? हॉन्ग वांग और जोशुआ ज़ाल ने फ़रवरी 2025 में 127 पन्नों का प्रमाण पोस्ट किया कि जवाब हाँ है। यह वांग को 2026 का फ़ील्ड्स मेडल मिलने की एक बड़ी वजह थी।

कंप्यूटर या AI ने क्या किया

कोई नहीं — बहु-पैमाना विश्लेषण (multiscale analysis) से किया गया मानवीय प्रमाण।

हम कैसे जानते हैं कि यह सही है

2025 से विशेषज्ञों ने इसे व्यापक रूप से परखा है (टेरेंस ताओ की एक विस्तृत व्याख्या समेत); इतने लंबे प्रमाण के लिए जर्नल समीक्षा अगला सामान्य क़दम है।

चित्रण: सुई को पूरा चक्कर घुमाना

जगह पर घूमती सुई एक पूरी चकती घेर लेती है, लेकिन चतुर आकृतियाँ कम क्षेत्रफल लेती हैं। 3D काकेया सवाल पूछता है कि हर दिशा में इशारा करती सुई को समाने वाले समुच्चय को कितना "बड़ा" होना होगा।

हाथ से हल

ग्राहम का पुनर्व्यवस्था अनुमान

रखी गई: 1971 · हल हुई: 2026 (अंतिम शोधपत्र फ़रवरी 2026)

चार शोधपत्र: म्युयेसर और पोक्रोव्स्की; क्राविट्ज़ और बेडर्ट; एक संयुक्त टीम; और आख़िर में लिसा सॉअरमैन और ह्यूई तुआन फाम

क्या अभाज्य आकार वाली घड़ी पर शून्येतर संख्याओं के किसी भी समूह को हमेशा ऐसे क्रम में रखा जा सकता है कि हर चालू योग अलग हो?

गणितज्ञ और जगलिंग के शौक़ीन रोनाल्ड ग्राहम ने यह सवाल 1971 में रखा। अलग-अलग टीमों ने बहुत छोटे समूह, बहुत बड़े समूह और फिर और स्थितियाँ सँभालीं; सबसे कठिन बीच का दायरा सॉअरमैन और फाम ने फ़रवरी 2026 में 27 पन्नों के एक शोधपत्र में, यादृच्छिकता और फ़ूरिए विश्लेषण से बंद किया।

कंप्यूटर या AI ने क्या किया

कोई नहीं — प्रायिकता पर आधारित मानवीय प्रमाण।

हम कैसे जानते हैं कि यह सही है

अलग-अलग टीमों के चार शोधपत्रों में फैला; सितंबर 2026 में Quanta Magazine ने इसे समस्या को आधिकारिक रूप से बंद करने वाला बताया।

Mathematicians Harness Randomness To Crack a 55-Year-Old Conjecture — Quanta Magazine (28 Sep 2026)

ख़ुद आज़माइए: 11 घंटे वाली घड़ी पर अलग-अलग आंशिक योग

संख्याएँ 1, 2, 3, 5, 9, 10, जिन्हें 11 घंटे वाली घड़ी पर एक-एक करके जोड़ा जाता है (यहाँ 12 बजे का मतलब 0 है, और 13 घूमकर 2 हो जाता है)। क्या आप उन्हें ऐसे क्रम में लगा सकते हैं कि हर संचयी योग अलग घंटे पर पड़े?

क्रम	1	10	2	9	3	5
संचयी योग	1	0	2	0	3	8

दोहराया गया योग: 0। फिर कोशिश करें।

ग्राहम का अनुमान कहता है कि किसी भी अभाज्य आकार वाली घड़ी पर, शून्येतर संख्याओं के किसी भी समूह के लिए, काम करने वाला क्रम हमेशा मौजूद है। छह संख्याओं के लिए हाथ से एक क्रम ढूँढना आसान है; हर समूह के लिए इसे सिद्ध करने में 55 साल लगे।

AI युग का परिणाम

एर्डोश का इकाई दूरी अनुमान — ग़लत सिद्ध

रखी गई: 1946 · हल हुई: मई 2026

OpenAI का एक आंतरिक रीज़निंग मॉडल; नोगा अलोन, थॉमस ब्लूम, टिमोथी गावर्स और अन्य ने जाँचा

समतल में n बिंदुओं के बीच कितने जोड़े ठीक 1 इकाई की दूरी पर हो सकते हैं — क्या n से बस ज़रा ज़्यादा, जैसा एर्डोश मानते थे?

पॉल एर्डोश का अनुमान था कि इकाई-दूरी वाले जोड़ों की संख्या बिंदुओं की संख्या से बस थोड़ी ही तेज़ी से बढ़ सकती है। मई 2026 में OpenAI के एक मॉडल ने बीजगणितीय संख्या सिद्धांत के गहरे औज़ारों से बिंदु-समूहों का एक अनंत परिवार बनाया, जो उस सीमा को n की एक असली घात से पार करता है। फिर विल सॉविन ने इस बढ़त को स्पष्ट किया: n की घात 1.014 से ज़्यादा जोड़े, जिसे बाद में और सुधारा गया।

कंप्यूटर या AI ने क्या किया

मुख्य निर्माण और तर्क ख़ुद खोजा। OpenAI ने इसे पहली बार बताया जब किसी AI ने गणित की किसी शाखा की एक केंद्रीय खुली समस्या स्वायत्त रूप से तय की।

हम कैसे जानते हैं कि यह सही है

नौ प्रमुख गणितज्ञों ने, जिनमें फ़ील्ड्स मेडल विजेता टिमोथी गावर्स और जैकब त्सिमरमैन भी हैं, इसे जाँचा और एक साथी शोधपत्र लिखा। गिल कलाई ने इसके महत्व की तुलना 1976 के चार रंग प्रमाण से की।

चित्रण: इकाई दूरियाँ गिनना

19 बिंदु, ठीक 1 इकाई दूर वाले 42 जोड़े

ऐसे जाली पैटर्न से इकाई-दूरी वाले बहुत से जोड़े मिलते हैं। एर्डोश मानते थे कि बिंदुओं की संख्या बढ़ने पर इससे बहुत बेहतर कुछ नहीं हो सकता; 2026 में एक AI ने ऐसे निर्माण खोजे जो बेहतर हैं।

AI युग का परिणाम

नौ एर्डोश समस्याएँ — AlphaProof Nexus

रखी गई: अलग-अलग, 56 साल तक पुरानी · हल हुई: मई 2026

Google DeepMind का AlphaProof Nexus (Gemini + Lean प्रमाण-जाँचक)

क्या कोई AI सिस्टम सच में खुली शोध समस्याओं के मशीन-जाँचे प्रमाण बना सकता है?

DeepMind ने अपने AlphaProof Nexus एजेंट को एर्डोश समस्याओं के डेटाबेस की 353 खुली समस्याओं पर लगाया। उसने 9 हल कीं — जिनमें दो 56 साल से खुली थीं — और ऑनलाइन एनसाइक्लोपीडिया ऑफ़ इंटीजर सीक्वेंसेज़ (OEIS) के 44 अनुमान भी सिद्ध किए।

कंप्यूटर या AI ने क्या किया

प्रमाण खोजे और उन्हें सीधे Lean में लिखा, एक ऐसी भाषा जिसे कंप्यूटर पंक्ति-दर-पंक्ति जाँच सकता है।

हम कैसे जानते हैं कि यह सही है

हर प्रमाण Lean में कंपाइल होता है, इसलिए हर तार्किक क़दम मशीन से सत्यापित है; प्रमाण GitHub पर सार्वजनिक हैं। सफलता दर पर ध्यान दें: 353 में से 9, यानी लगभग 2.5%।

Advancing Mathematics Research with AI-Driven Formal Proof Search (arXiv:2605.22763)

AI युग का परिणाम

एक नॉन-सोफ़िक समूह मौजूद है

रखी गई: 1999 · हल हुई: अगस्त 2026 (घोषित)

OpenAI का अप्रकाशित मॉडल "Astra"

क्या हर समूह "सोफ़िक" है — यानी मिखाइल ग्रोमोव के बताए अर्थ में सीमित क्रमचयों से उसका सन्निकटन किया जा सकता है?

1 अगस्त 2026 को OpenAI ने अपने अगले मॉडल Astra के दस परिणामों की घोषणा की। सबसे अहम था नॉन-सोफ़िक समूह का पहला निर्माण, जो समूह सिद्धांत के 27 साल पुराने सवाल का जवाब देता है। इसके साथ तीन एर्डोश समस्याएँ थीं, और गोला-जमावट की एक सामान्य सीमा में 1978 के बाद पहला सुधार।

कंप्यूटर या AI ने क्या किया

सभी दस परिणामों के प्रमाण और Lean प्रमाणपत्र बनाए।

हम कैसे जानते हैं कि यह सही है

Lean प्रमाणपत्र सार्वजनिक हैं और उनमें कोई बिना सिद्ध क़दम नहीं है। एक स्वतंत्र मानवीय ऑडिट (सिएनिकी और सिएनिकी, अंतिम संस्करण 9 सितंबर 2026) को मुख्य परिणामों में कोई पुष्ट ठोस त्रुटि नहीं मिली, हालाँकि समीक्षा की गहराई अलग-अलग रही और एक परिणाम पर एक विशेषज्ञ ने बड़े संशोधन की माँग की। गणितज्ञ समूह-सिद्धांत वाले परिणाम पर पहले से आगे काम कर रहे हैं। हमारी स्थिति-जाँच की तारीख़ तक जर्नल समीक्षा पूरी नहीं हुई थी।

AI की सुर्खियाँ ध्यान से पढ़ें

"AI ने हल कर दिया" वाली हर सुर्खी सच नहीं होती

अक्टूबर 2025 में OpenAI के कुछ कर्मचारियों की पोस्ट में दावा किया गया कि GPT-5 ने दस "खुली" एर्डोश समस्याएँ हल कर दी हैं। एर्डोश समस्याओं का डेटाबेस चलाने वाले थॉमस ब्लूम ने बताया कि उनकी साइट पर "खुली" का मतलब सिर्फ़ इतना था कि उन्हें कोई हल पता नहीं था — मॉडल ने पुराने शोधपत्रों में पहले से मौजूद हल ढूँढ निकाले थे। वे पोस्ट हटा दी गईं। भूले हुए शोध को खोज निकालना सच में उपयोगी है, लेकिन यह समस्या हल करना नहीं है।

The Decoder — OpenAI researcher announced a GPT-5 math breakthrough that never happened

1976 में स्थितियाँ जाँचने से लेकर 2026 में प्रमाण खोजने तक मशीनों का पूरा सफ़र हमारे लेख कंप्यूटर से सुलझी समस्याएँ: गणित की मशहूर पहेलियाँ जिन्हें सुलझाने में मशीनों ने मदद की में है।

इनमें से दो को ख़ुद आज़माएँ

कोलाट्ज़ अनुमान और गोल्डबाख अनुमान दोनों हाथ से आसानी से जाँचे जा सकते हैं — और दोनों ठीक यही दिखाते हैं कि जाँचना, सिद्ध करना क्यों नहीं है।

ख़ुद आज़माएँ — कोलाट्ज़ एक्सप्लोरर

1 से 9,999 तक की कोई पूर्ण संख्या चुनें। नियम: अगर वह सम है, तो आधा करें; अगर विषम है, तो तिगुना करके 1 जोड़ें। दोहराते रहें।

27 → 82 → 41 → 124 → 62 → 31 → 94 → 47 → 142 → 71 → 214 → 107 → 322 → 161 → 484 → 242 → 121 → 364 → 182 → 91 … → 70 → 35 → 106 → 53 → 160 → 80 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1

111 क़दम, सबसे ऊँचा मान 9,232, और 1 पर पहुँची।

इस तरह जाँची गई हर पूर्ण संख्या — और कंप्यूटर लगभग 2⁶⁸ (क़रीब 3 × 10²⁰) तक की हर संख्या जाँच चुके हैं — आख़िर में 1 पर पहुँचती है। किसी ने सिद्ध नहीं किया कि ऐसा हर पूर्ण संख्या के साथ होता है, और किसी को कोई प्रति-उदाहरण नहीं मिला। "हर जाँची गई संख्या के लिए सही" और "हर संख्या के लिए सही" के बीच का यही अंतर इसे हल हो चुकी नहीं, बल्कि खुली समस्या बनाता है।

कोलाट्ज़ अनुमान: आज़माई गई हर संख्या 1 पर पहुँचती है — लेकिन "आज़माई गई हर संख्या" का मतलब "हर संख्या" नहीं है।

ख़ुद आज़माएँ — गोल्डबाख जोड़ा खोजक

100,000 तक की कोई सम संख्या चुनें। (मज़बूत) गोल्डबाख अनुमान कहता है कि उसे हमेशा दो अभाज्य संख्याओं के योग के रूप में लिखा जा सकता है।

100 =

3 + 97 = 100
11 + 89 = 100
17 + 83 = 100
29 + 71 = 100
41 + 59 = 100
47 + 53 = 100

अब तक जाँची गई हर सम संख्या — वितरित कंप्यूटर खोजों से लगभग 4 × 10¹⁸ तक — का कम से कम एक ऐसा जोड़ा है। कोई अपवाद कभी नहीं मिला, और ऐसा कोई प्रमाण भी नहीं कि कभी नहीं मिलेगा। (एक कमज़ोर, जुड़ा हुआ कथन — 5 से बड़ी हर विषम संख्या तीन अभाज्यों का योग है — 2013 में हैराल्ड हेल्फ़गॉट ने सिद्ध किया। वह सच में एक अलग, हल हो चुका कथन है; वह ऊपर के ज़्यादा मज़बूत दो-अभाज्य रूप को सिद्ध नहीं करता।)

मज़बूत गोल्डबाख अनुमान: आज़माई गई हर सम संख्या का एक अभाज्य जोड़ा है — लेकिन, फिर से, हर सम संख्या आज़माई नहीं गई है।

कोई ग़लती दिखी, या कोई असली अपडेट पता है?

इस पेज की समीक्षा और सुधार हाथ से होता है — यह अपने-आप अपडेट नहीं होता और "लाइव" नहीं है। अगर ऊपर कोई स्थिति पुरानी हो गई है या आपको लगता है कि यहाँ कुछ ग़लत है, तो हमें बताएँ और हम उसे जाँचेंगे।

अपडेट का इतिहास

3 अक्टूबर 2026 — "हल हुईं — और कैसे" जोड़ा गया: 11 समस्याएँ जो कभी खुली थीं, साथ में यह कि हर एक कैसे तय हुई (हाथ से, कंप्यूटर की मदद से, कंप्यूटर ने खोजा या AI से), हर एक की जाँच कैसे हुई, और स्रोत। उसी दिन पेज का हिंदी अनुवाद किया गया।
2 अक्टूबर 2026 — पेज बनाया गया; सभी 15 प्रविष्टियों पर शोध किया गया और प्राथमिक स्रोतों से उनकी स्थिति जाँची गई।

क्या आप सात आधिकारिक मिलेनियम प्राइज़ प्रॉब्लम्स को हल किए उदाहरणों के साथ, एक जुड़ी हुई कहानी की तरह समझना चाहते हैं? हमारा साथी लेख पढ़ें। जानना चाहते हैं कि क्या AI इनमें से कोई हल कर सकता है? क्या AI सच में गणित कर सकता है?

इतना दिलचस्प गणित, इतनी साफ़ पढ़ाई

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