これは何か
関数がある点で連続であるとは、その点での極限が実際の値と等しいことです — 非公式に言えば、ペンを持ち上げずにその点を通ってグラフを描けるということです。連続性は微積分の最も重要な定理の多くにとって前提条件となります。
なぜ重要か
連続性は、中間値の定理や最大値・最小値の定理といった主要な結果の背後にある前提です — これがなければ、関数は予測不可能に振る舞い、標準的な微積分の技法を無効にするような跳躍や断絶を起こす可能性があります。
試験のコツ
連続性を形式的に証明するには、3つの条件を明示的に確認しましょう:関数がその点で定義されている、極限がその点で存在する、そして極限がその点での関数の値と等しい — この3つのうち1つでも省略すると証明は不完全になります。
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