Вот загадка, которую поймёт и двенадцатилетний ребёнок, а математикам всего мира понадобилось 55 лет, чтобы её решить. Возьмите несколько чисел на циферблате. Всегда ли можно расставить их так, чтобы, складывая их по одному, вы ни разу не попали на один и тот же час дважды? В феврале 2026 года была опубликована последняя часть доказательства. И ключевым инструментом оказался не хитрый приём для конкретного порядка, а случайность.
Загадка
Базовый уровень GCSE
Арифметика циферблата — это арифметика, которая идёт по кругу. На часах с 11 делениями 8 + 5 — это не 13, а 2, потому что 13 выходит за 11 и начинается сначала. Математики называют это вычислениями «по модулю 11». Теперь возьмите несколько разных чисел, отличных от 0, например 1, 2, 3, 5, 9 и 10, сложите их в каком-то порядке и запишите каждую накопленную сумму. Попробуйте:
Попробуйте сами: разные частичные суммы на циферблате с 11 делениями
Числа 1, 2, 3, 5, 9, 10, складываемые по одному на циферблате с 11 делениями (12 часов здесь — это 0, а 13 возвращается к 2). Сможете ли вы расставить их так, чтобы каждая накопленная сумма попала на другое деление?
| Порядок | 1 | 10 | 2 | 9 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Накопленная сумма | 1 | 0 | 2 | 0 | 3 | 8 |
Повторяется сумма: 0. Попробуйте ещё раз.
Рональд Грэм — знаменитый математик и к тому же опытный жонглёр (Quanta отмечает, что вопрос напоминает жонглёрские схемы, где два мяча не должны падать в один и тот же такт) — спросил в 1971 году, существует ли хороший порядок всегда, для любого простого p и любого набора ненулевых чисел.
Иллюстрация: накопленные суммы как прыжки по циферблату с 11 делениями
Начните с 0 и по очереди прибавляйте 1, 2, 3, 9, 5, 10:
- +1 → деление 1
- +2 → деление 3
- +3 → деление 6
- +9 → деление 4
- +5 → деление 9
- +10 → деление 8
Различие, которое учащиеся часто упускают
Проверка примеров — это не доказательство
Почему это было трудно: три размера задачи
Углублённый уровень бакалавриата
Трудность задачи зависит от того, сколько у вас чисел по сравнению с размером циферблата.
- Очень маленькие наборы (скажем, 100 чисел на циферблате с миллиардом делений): места много, но нужно исключить любое неудачное совпадение. Кравиц и Бедерт решили этот случай в 2024 году.
- Почти полные наборы (заняты почти все деления): манёвра почти нет. Мюессер и Покровский нашли путь: отложить несколько специально выбранных чисел, случайно перемешать остальные, а затем исправить проблемные участки, вставляя запасные числа.
- Середина (примерно половина делений): слишком тесно для методов малых наборов и слишком свободно для методов больших. Это был последний пробел.
Последняя часть: случайность и волны
Углублённый уровень магистратуры
Зауэрман и Фам начали со случайного порядка чисел. В случайном порядке повторившаяся накопленная сумма — это «плохое событие». Им нужно было показать две вещи: что плохие события достаточно редки и что немногие случившиеся можно исправить перестановкой. Чтобы показать, что они редки, они использовали анализ Фурье — ту же идею, что раскладывает звук на чистые синусоиды, — и доказали, что случайные комбинации чисел не отдают предпочтения ни одной сумме. Их процедура исправления чинит порядок как минимум в 90% случаев, и этого достаточно: если случайный процесс удаётся с положительной вероятностью, хороший порядок обязан существовать.
Как объяснили исследователи журналу Quanta Magazine, поразительно в этом методе то, что если действовать случайно, всё, скорее всего, получится, хотя явно описать, как выглядит решение, трудно. Этот «вероятностный метод», доказывающий существование чего-то без того, чтобы это записать, — одна из самых мощных идей современной комбинаторики.
Быстрая проверка
Зауэрман и Фам показали, что случайный порядок можно исправить как минимум в 90% случаев. Почему это доказывает, что хороший порядок существует всегда?
Хронология
Хронология
- 1971Рональд Грэм ставит вопрос о перестановке для чисел на циферблате с простым числом делений.
- 2024Ноа Кравиц и Бенджамин Бедерт решают случай очень маленьких наборов, например 100 чисел на циферблате примерно с миллиардом делений.
- 2022–2025Альп Мюессер и Алексей Покровский разбирают наборы, содержащие почти все возможные числа; совместная команда распространяет методы на другие случаи.
- Февр. 2026Лиза Зауэрман и Хюи Туан Фам закрывают последний пробел — наборы среднего размера — в статье на 27 страниц, завершая доказательство.
- Сент. 2026Quanta Magazine рассказывает о решении 55-летней гипотезы в четырёх статьях.
Решено людьми в эпоху ИИ
2026 год полон заголовков об ИИ, решающем математические задачи, — какие-то правдивы, какие-то нет, как объясняет наша статья Решено компьютером. Гипотеза Грэма напоминает, что самый глубокий прогресс по-прежнему часто приходит от людей: четыре команды несколько лет опирались на идеи друг друга и превратили случайность в уверенность.
Источники и дополнительное чтение
- Mathematicians Harness Randomness To Crack a 55-Year-Old Conjecture — Quanta Magazine (28 Sep 2026) — четыре статьи, разбиение на случаи и метод Зауэрман и Фама
- Probabilistic method — Wikipedia
- Modular arithmetic — Wikipedia
Последняя проверка: 3 октября 2026 года, по статье Quanta Magazine от 28 сентября 2026 года, указанной выше.
Часто задаваемые вопросы
Что именно утверждает гипотеза Грэма о перестановке?
Возьмите простое число p и любой набор различных ненулевых чисел на циферблате с p делениями (арифметика «по модулю p»). Тогда их всегда можно расставить так, что накопленные суммы (первое число, сумма первых двух, первых трёх и так далее) попадут на разные деления. Теперь это теорема, доказанная в четырёх статьях, последняя — в феврале 2026 года.
Кто решил гипотезу Грэма?
Не кто-то один. Ноа Кравиц и Бенджамин Бедерт разобрали очень маленькие наборы; Альп Мюессер и Алексей Покровский — наборы почти из всех чисел, а совместная команда расширила их методы; Лиза Зауэрман (Боннский университет) и Хюи Туан Фам (Чикагский университет) закрыли последний случай — средние наборы — в феврале 2026 года.
Доказательство нашёл компьютер или ИИ?
Нет. Это доказательство, построенное людьми на основе вероятности (случайных порядков) и анализа Фурье. Компьютеры могут быстро проверять маленькие случаи, как пример из шести чисел на этой странице, но никакая проверка не охватит все простые числа и все наборы. Поэтому и нужно было доказательство.
Почему важно, чтобы число делений было простым?
На циферблате с простым числом делений многократное прибавление ненулевого числа проходит через все деления, прежде чем вернуться к началу, и это придаёт арифметике очень правильную структуру. Гипотеза и её доказательство относятся именно к этому простому случаю.
Оценки и отзывы читателей
Оцените эту статью по нескольким критериям — ваше мнение помогает другим читателям и помогает нам становиться лучше.
Была ли эта статья полезной?
Расскажите, что вы думаете — исправление, вопрос, оставшийся без ответа, или тема, которую вы хотели бы увидеть далее.
Хотите обсудить голосом? Запишитесь на бесплатный видеозвонок в удобное время: 15 минут для короткого вопроса, 30 — для всего остального. Время показывается в вашем часовом поясе.
Об авторе
Sudershan Soni
Основатель и главный преподаватель в Mostak Services — репетитор по математике, естественным наукам, информатике и STEM со степенью магистра и более чем 20-летним профессиональным опытом, преподаёт ученикам от уровня 11+ и GCSE до A-Level и выше, онлайн по всему миру.
Читать полный профиль