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未解的数学之谜：还有哪些问题悬而未决？
维护者： Sudershan Soni 状态核实日期：2026年10月2日
这里精选了 15 个重大的未解数学问题（另有几个著名问题：有人宣称已解决、存在争议，或在历史上已经解决）。这并不是数学中所有未解问题的完整清单。每个条目都遵循同一个标准：哪些已经真正证明，哪些只是猜测，以及这两者的区别意味着什么。再往下的已解决的问题，以及如何解决介绍了 11 个最终得到解决的问题：有的靠人工，有的靠计算机，如今还有的靠 AI。
五个词，五种不同的意思
猜想
一个精确的数学命题，根据证据或规律被认为很可能成立，但尚未得到证明。
证明
一个逻辑论证，确立某个命题在每一种情况下都成立、不可能有例外，而不仅仅是在检验过的情况下成立。
反例
一个使猜想不成立的真实例子。无论此前有多少例子支持该猜想，仅这一个例子就足以彻底推翻它。
数值证据
确认某个命题在每一个实际检验过的情况下都成立。无论检验过的情况有多少，都永远不等同于涵盖所有情况的证明。
独立性
证明某个命题从一组给定的起始规则（公理）出发，既无法证明也无法否定。这是另一种最终答案，而不是一个等待巧妙想法的未解问题。
检验例子与对所有情形作出证明
把滑块一直拖到最右边。无论你推得多远，进度条都永远到不了“所有整数”——整数有无穷多个，无论是手算还是用计算机，检验工作都不可能完成。这正是强有力的数值证据（比如考拉兹猜想已确认的 2⁶⁸ 个情形）与数学证明之间真正的区别：数学证明通过纯粹的逻辑一次性涵盖所有情形，不再留下任何需要检验的东西。
读下面每个“未解决”条目时请记住这一点：无论检验多少次，都无法像证明那样把工作真正做完。
总览
| 问题 | 领域 | 状态 |
|---|---|---|
| 黎曼猜想 | 数论 | 未解决 |
| P 与 NP 问题 | 计算机科学 / 数理逻辑 | 未解决 |
| 纳维–斯托克斯方程解的存在性与光滑性 | 流体力学 / 偏微分方程 | 宣称已解决，评估中 |
| 杨–米尔斯存在性与质量间隙 | 数学物理 | 未解决 |
| 霍奇猜想 | 代数几何 | 未解决 |
| 贝赫和斯维讷通–戴尔猜想 | 数论 | 未解决 |
| 庞加莱猜想 | 拓扑学 | 已解决的历史问题 |
| 孪生素数猜想 | 数论 | 未解决 |
| 强哥德巴赫猜想 | 数论 | 未解决 |
| 考拉兹猜想（3n + 1 问题） | 数论 / 动力系统 | 未解决 |
| 奇完全数是否存在？ | 数论 | 未解决 |
| abc 猜想 | 数论 | 证明存在争议 |
| 比尔猜想 | 数论 | 未解决 |
| 广义黎曼猜想（GRH） | 数论 | 未解决 |
| 连续统假设 | 集合论 / 数理逻辑 | 独立于指定公理 |
正在显示 15 个问题中的 15 个。
未解决黎曼猜想
数论
黎曼 ζ 函数的所有“非平凡零点”是否都恰好落在同一条特定的直线上？
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黎曼猜想
数论
黎曼 ζ 函数的所有“非平凡零点”是否都恰好落在同一条特定的直线上？
黎曼 ζ 函数是一个由无穷级数构造出来的数学对象，令人惊奇的是，它蕴含着关于素数如何分布的深刻信息。它在某些特殊的点上等于零。其中“平凡”零点已经被充分理解，但有无穷多个“非平凡”零点还没有。黎曼猜想预言，这些零点无一例外地都落在一条确定的竖直线上（即输入值的实部等于 1/2 的地方）。计算机已经检验了超过 10 万亿个零点，每一个都恰好落在这条直线上。
精确表述（进阶）
ζ(s) 的所有非平凡零点的实部都等于 1/2。
为什么重要
现有数学中有极大一部分建立在 RH 成立这一假设之上：数以百计已发表的定理都写成“若 RH 成立，则成立”的形式。一旦得到证明，它们会立刻全部变成无条件成立的事实，素数定理中的误差项也将被确定为最精确的形式。
已知的内容
通过计算已验证了超过 10 万亿个零点，全部在这条直线上。另外，人们用不依赖计算的解析方法证明了：全部零点中有一个正的比例（超过 40%）落在这条直线上。
仍未解决的部分
一个涵盖无穷多个零点中每一个的证明（或否证），而不仅仅是已检验过的零点，或现有部分结果所涵盖的零点。
已核实的进展（附日期）
- 1859年伯恩哈德·黎曼在一篇关于素数分布的论文中提出这个猜想。
- 2004年至2020年代计算验证扩展到超过 10 万亿个零点，没有发现任何例外。
这些进展能解决问题吗？
数值证据和部分解析结果都极其有力，但对无穷多的其余部分，并不存在证明。这是“证据不等于证明”的教科书式例子。
未解决P 与 NP 问题
计算机科学 / 数理逻辑
每个答案能被快速验证的问题，是否也总能被快速求解，而不只是被验证？
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P 与 NP 问题
计算机科学 / 数理逻辑
每个答案能被快速验证的问题，是否也总能被快速求解，而不只是被验证？
有些问题，比如一张填好的数独，或者一条短于目标长度的送货路线方案，只要手里有一个候选答案，几乎瞬间就能验证。P 与 NP 问题追问的是：这一大类“验证起来很快”的问题，从纯逻辑的角度看，是否也总能从零开始被快速求解？还是说，验证和求解在难度上根本不同？
精确表述（进阶）
复杂度类 P（可在多项式时间内求解）是否等于复杂度类 NP（解可在多项式时间内验证）？
为什么重要
现代密码学的大部分（包括保护网上银行的加密）都依赖于某些问题“容易验证、难以求解”。如果有人证明了 P = NP，并真的找到了高效的方法，现有的大多数加密都需要被替换。
已知的内容
P 是 NP 的子集（能快速求解的问题也能快速验证），这个方向是显然的，并且已被证明。反方向是否成立则未知。至今没有任何问题被证明需要超过多项式时间才能求解、同时又容易验证。
仍未解决的部分
要么证明 P = NP（最好附带一个对某个 NP 问题真正高效的方法），要么证明 P ≠ NP（即至少对一个 NP 完全问题，永远不可能存在这样的方法）。
已核实的进展（附日期）
- 1971年斯蒂芬·库克将 P 与 NP 问题以及 NP 完全性形式化。
- 持续进行中几十年来，人们从两个方向尝试证明；几种著名的证明策略已被证明行不通（即所谓的“壁垒”结果），从而缩小了搜索范围。
这些进展能解决问题吗？
壁垒结果告诉数学家哪些证明技巧一定行不通，这是真正的进展，但它们本身并没有证明任何一个方向的答案。
未解决杨–米尔斯存在性与质量间隙
数学物理
粒子物理标准模型背后的方程，能否在数学上变得完全严格？它们是否真的要求存在“质量间隙”？
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杨–米尔斯存在性与质量间隙
数学物理
粒子物理标准模型背后的方程，能否在数学上变得完全严格？它们是否真的要求存在“质量间隙”？
杨–米尔斯理论是粒子物理中基本相互作用如何运作的基础，物理学家用它取得了巨大的实验成功。缺少的是对这一理论的完全严格的数学构造（而不仅仅是在物理上有效的近似）。还缺少一个证明：证明它必然预言“质量间隙”，也就是该理论允许的最轻粒子必须具有严格为正的质量，与实验实际观测到的一致。
为什么重要
它恰好位于物理学和纯数学的交界处。解决它，将是对“现代物理背后的数学在逻辑上无懈可击，而不仅仅是在经验上成功”最深刻的确认之一。
已知的内容
作为物理理论，杨–米尔斯理论非常成功，已被粒子加速器实验以极高的精度证实。在某些简化的（较低维的）情形中，存在严格的数学版本。
仍未解决的部分
对完整的四维量子杨–米尔斯理论给出完全严格的构造，并证明质量间隙是这一构造的必然结果。
已核实的进展（附日期）
- 1954年杨振宁和罗伯特·米尔斯提出这一理论。
- 持续进行中在简化或低维的情形中已有严格构造；完整的物理情形仍未解决。
这些进展能解决问题吗？
它被认为是七个千禧年大奖难题中技术要求最高的之一。在受限的情形中确有进展，但并不能解决一般情形。
未解决霍奇猜想
代数几何
对于一类由多项式方程构造出来的、性质良好的几何形状，每一种“自然的”内部结构是否真的都来自更简单的代数部件？
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霍奇猜想
代数几何
对于一类由多项式方程构造出来的、性质良好的几何形状，每一种“自然的”内部结构是否真的都来自更简单的代数部件？
代数几何研究由多项式方程定义的几何形状。这些形状具有可以用拓扑学（允许拉伸和弯曲的、灵活意义上的形状）来描述的内部特征。霍奇猜想预言：对于其中某一类性质良好的形状，这种拓扑特征都可以直接由代数子形状（本身也是多项式方程之解的部件）构造出来。说到底，就是从两种不同的视角观察同一个形状，结论应该总是一致的。
为什么重要
这是关于几何学两大分支——拓扑与代数——之间关系的根本问题。一旦得到证明，两者之间的联系将比目前所知的紧密得多。
已知的内容
在许多特殊的、低维的或对称的情形中已被证明成立。
仍未解决的部分
对该猜想适用的整类形状给出一般性证明，或者找到一个反例。
已核实的进展（附日期）
- 1950年威廉·霍奇提出这一猜想。
- 持续进行中已在众多特殊情形中得到验证；尚未找到一般性证明或反例。
这些进展能解决问题吗？
人们普遍认为，它是最难向大众精确表述的问题之一，更不用说证明了。特殊情形中的进展并没有打开通向一般命题的道路。
未解决贝赫和斯维讷通–戴尔猜想
数论
能否仅凭一个相关函数的性质，就预测一条椭圆曲线有多少个有理数解？
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贝赫和斯维讷通–戴尔猜想
数论
能否仅凭一个相关函数的性质，就预测一条椭圆曲线有多少个有理数解？
椭圆曲线是形如 y² = x³ + ax + b 的方程，它是现代密码学的核心，也是安德鲁·怀尔斯证明费马大定理的关键。有些椭圆曲线有无穷多个有理数解，有些只有有限个。这个猜想说：只需看由这条曲线构造出的另一个函数（它的 L 函数）在某个特定点附近的性质，就能判断属于哪一种情况，并估计解有多“丰富”。
为什么重要
它会把一个目前只能逐条处理、而且往往很难计算的问题（“这条曲线有多少个解？”）变成一条清晰、可证明的规则，对密码学和数论都有直接意义。
已知的内容
已对大量具体的椭圆曲线做了计算验证，并在某些受限的一般情形中得到证明（例如“秩”为 0 或 1 的曲线）。
仍未解决的部分
一个涵盖所有秩的椭圆曲线的一般性证明。
已核实的进展（附日期）
- 1960年代布赖恩·贝赫和彼得·斯维讷通–戴尔根据计算实验提出这一猜想。
- 1980年代至2020年代多位数学家证明了秩为 0 和 1 的曲线的情形；一般情形仍未解决。
这些进展能解决问题吗？
对于特定的受限情形，已经有真正的部分证明，这是实实在在的进展；但它们无法推广成涵盖所有椭圆曲线的一般论证。
已解决的历史问题庞加莱猜想
拓扑学
如果一个三维形状在精确的拓扑意义上没有任何“洞”，它是否一定其实就是一个（高维的）球面？
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庞加莱猜想
拓扑学
如果一个三维形状在精确的拓扑意义上没有任何“洞”，它是否一定其实就是一个（高维的）球面？
在二维中，这几乎是显然的：球面上画的任何一个圈，都可以在不离开球面的情况下收缩成一个点；而绕着甜甜圈的洞的圈却不行。这个猜想问的是：同样的规则——“没有洞，其实就是球面”——在高一维的情形下，也就是对四维空间中的三维形状，是否仍然成立。
为什么重要
它是亨利·庞加莱提出的拓扑学基础问题中最后一个、也是最难的一个被解决的问题，而解决它所用的技术（里奇流）已成为整个几何学中的重要工具。
已知的内容
已被证明。格里戈里·佩雷尔曼在 2002–2003 年的论文中，以理查德·汉密尔顿的里奇流计划为基础，给出了完整的证明，到 2006 年左右已由多个团队独立核实。
仍未解决的部分
没有了。这是七个千禧年大奖难题中唯一真正被解决的一个。
已核实的进展（附日期）
- 1904年亨利·庞加莱提出这一猜想。
- 1982–2003年理查德·汉密尔顿发展出里奇流这一工具；格里戈里·佩雷尔曼用它完成了证明。
- 2006年前后独立的核实团队确认证明是正确的。
- 2006年佩雷尔曼被授予菲尔兹奖，但他拒绝领奖。
- 2010年克雷研究所正式授予 100 万美元的千禧年大奖，佩雷尔曼再次拒绝。
这些进展能解决问题吗？
已被完全证明并经独立核实。这是“宣称”与“被接受的证明”之间区别最清晰的例子，因为它真正走完了每一个环节。
未解决孪生素数猜想
数论
是否存在无穷多对恰好相差 2 的素数，比如 (11, 13) 或 (17, 19)？
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孪生素数猜想
数论
是否存在无穷多对恰好相差 2 的素数，比如 (11, 13) 或 (17, 19)？
像 (11, 13) 这样的素数对，随着数变大会越来越少，但它们一直在出现：(1,000,000,000,061, 1,000,000,000,063) 就是远处的一个例子。这个猜想说，无论数变得多大，这种情况都永远不会真正停止。
为什么重要
这是关于素数最古老、也最容易表述的未解问题之一。对它的研究催生了重要的新筛法，如今被广泛用于整个数论。
已知的内容
2013 年，张益唐证明了存在无穷多对相差某个有界距离的素数（最初的界小于 7000 万）。这个距离不一定恰好是 2，但它是一个固定的有限值。此后的工作（特别是詹姆斯·梅纳德和陶哲轩的工作）迅速把这个界缩小到了 246。
仍未解决的部分
把已证明的距离从 246 一路缩小到恰好 2。人们普遍认为，如果没有真正的新思想，现有的筛法无法跨越这段差距。
已核实的进展（附日期）
- 2013年张益唐证明，某个有界的素数间隔（小于 70,000,000）会无穷多次出现。
- 2013–14年Polymath8 项目和詹姆斯·梅纳德分别独立地把这个界缩小到 246。
这些进展能解决问题吗？
这是真正的、广受赞誉的数学进展：证明存在某个有界间隔是一次历史性突破。但 246 不是 2，目前也没有人掌握被认为能跨越剩余距离的技术。
未解决强哥德巴赫猜想
数论
每一个大于 2 的偶数，是否都能写成两个素数之和？
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强哥德巴赫猜想
数论
每一个大于 2 的偶数，是否都能写成两个素数之和？
100 = 3 + 97，或 11 + 89，或者其他几种组合；10 = 3 + 7 或 5 + 5。这个猜想说，无论偶数有多大，它都保持这个性质。
为什么重要
这是整个数学中最古老的未解问题之一（1742 年首次提出），也是理解加法结构与素数如何相互作用的天然试验场。
已知的内容
已用计算机验证到大约 4 × 10¹⁸ 以内的每一个偶数。一个较弱的相关命题——每个大于 5 的奇数都是三个素数之和（“弱”哥德巴赫猜想，也称三素数定理）——已在 2013 年由哈拉尔德·赫尔夫戈特完全证明。
仍未解决的部分
对每一个偶数（而不仅仅是计算机验证过的偶数）给出两个素数版本（强版本）的一般性证明。赫尔夫戈特 2013 年的结果虽然是真正的里程碑，但它证明的是另一个命题（三个素数、奇数），并没有确立两个素数的版本。
已核实的进展（附日期）
- 1742年克里斯蒂安·哥德巴赫在给欧拉的信中提出这一猜想。
- 2013年哈拉尔德·赫尔夫戈特证明了较弱的“三素数”版本（三个素数、奇数）。
- 2000年代至2020年代对强版本（两个素数）的计算机验证超过了 4 × 10¹⁸，没有发现任何例外。
这些进展能解决问题吗？
赫尔夫戈特的结果是真正的、被完全接受的证明，但证明的是一个确实不同的命题。它常常被错误地引用，好像它解决了（仍然悬而未决的）两个素数版本。
未解决考拉兹猜想（3n + 1 问题）
数论 / 动力系统
从任意一个正整数出发，反复执行“偶数就减半、奇数就乘 3 再加 1”，是否最终一定会到达 1？
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考拉兹猜想（3n + 1 问题）
数论 / 动力系统
从任意一个正整数出发，反复执行“偶数就减半、奇数就乘 3 再加 1”，是否最终一定会到达 1？
任取一个正整数。如果是偶数，就把它减半；如果是奇数，就乘以 3 再加 1。不断重复。迄今为止用这种方法试过的每一个数，不管一开始如何忽上忽下，最终都会落到 1。试试本页下方的探索工具，亲眼看看。
为什么重要
它以表述极其简单、证明却极其困难而闻名。据说数学家保罗·埃尔德什曾说，数学对这样的问题“还没有准备好”。
已知的内容
已用计算机验证到大约 2⁶⁸（约 3 万京）以内的每一个起始数，全都到达 1。2019 年，陶哲轩证明了（在精确的统计意义上）“几乎所有”起始数最终都会达到一个非常小的值，这是一个重大的部分结果。
仍未解决的部分
证明每一个起始数都毫无例外地到达 1。陶哲轩 2019 年的结果虽然是真正的里程碑，但明确没有排除罕见例外的可能。
已核实的进展（附日期）
- 1937年洛塔尔·考拉兹提出这一猜想。
- 2019年陶哲轩证明几乎所有轨道都会达到几乎有界的值，这是一个重大但不完整的结果。
这些进展能解决问题吗？
陶哲轩的结果是真正重要的进展，而他本人也一再准确地说明，这距离完整的证明还差一步：“几乎所有”是一个精确的专业术语，它仍然允许例外存在。
未解决奇完全数是否存在？
数论
是否存在一个奇数，它的真因数（不包括它本身）之和恰好等于它自己？
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奇完全数是否存在？
数论
是否存在一个奇数，它的真因数（不包括它本身）之和恰好等于它自己？
6 是“完全数”：它的因数 1、2、3 加起来正好是 6。所有已知的完全数（6、28、496、8128……）都是偶数。从来没有人找到过奇完全数，也没有人证明它不可能存在。
为什么重要
这是一个表述简单的存在性问题，两千多年来一直抵挡着各种证明尝试，也是检验积性数论方法的有用试验场。
已知的内容
已经证明：如果奇完全数存在，它必须具有极其受限的结构，例如必须大于 10¹⁵⁰⁰、至少有 10 个不同的素因数，并满足许多其他苛刻条件。
仍未解决的部分
要么证明奇完全数在任何情况下都不可能存在，要么找到一个真实的例子（如果存在的话，预计会大得惊人）。
已核实的进展（附日期）
- 持续进行中（20–21世纪）一长串结果不断收窄奇完全数可能具有的结构，但始终没有完全排除它存在的可能。
这些进展能解决问题吗？
几十年的工作已经把可能性的空间压缩得极其狭窄，但没有完全关闭。这是一个约束条件不断累积、却还没有逼出矛盾的例子。
证明存在争议abc 猜想
数论
对于没有公因数且满足 a + b = c 的三个正整数，a、b、c 所含的素因数合起来能有多“小”，是否存在一个精确的界限？
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abc 猜想
数论
对于没有公因数且满足 a + b = c 的三个正整数，a、b、c 所含的素因数合起来能有多“小”，是否存在一个精确的界限？
如果 a 和 b 没有公因数，且 a + b = c，这个猜想把 c 的大小与能整除 a、b、c 的不同素数的乘积（称为“根”）联系起来。粗略地说：除了以一种受控、罕见的方式之外，c 不能比这个“根”大太多。这是一个关于整数的加法与乘法如何相互作用的深刻命题。
为什么重要
如果得到证明，它将一举推出数论中许多其他重大结果和猜想，其中包括费马大定理的一个强形式（对除有限多个之外的所有指数成立）。
已知的内容
望月新一在 2012 年宣布了一个所谓的证明，使用的是他称为“宇宙际 Teichmüller 理论”（IUT 理论）的一套全新且高度技术化的框架。
仍未解决的部分
一个正确的证明获得广泛认可。望月宣称的证明并没有被大多数专业数学家接受。
已核实的进展（附日期）
- 2012年望月在网上发布了四篇论文，宣称用 IUT 理论给出了证明。
- 2018年数学家彼得·舒尔策和雅各布·斯蒂克斯发表详细报告，指出了他们所说的论证中一个严重且未解决的漏洞。
- 2021年这些论文发表在 RIMS（由望月担任编辑的期刊）上，但舒尔策和斯蒂克斯提出的异议并没有以令大多数外部专家满意的方式得到解决。
这些进展能解决问题吗？
这是现代数学中“一个证明已经发表”与“一个证明被广泛接受”之间差距最清楚的例子：在期刊上发表并没有平息专家之间的分歧，这一分歧至今确实悬而未决。
未解决比尔猜想
数论
如果 Aᵖ + Bᵍ = Cʳ（p、q、r 都大于 2），那么 A、B、C 是否必须有一个公共素因数？
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比尔猜想
数论
如果 Aᵖ + Bᵍ = Cʳ（p、q、r 都大于 2），那么 A、B、C 是否必须有一个公共素因数？
它是费马大定理（p = q = r 的特殊情形）的推广。这个猜想说，只要这样的方程在所有指数都大于 2 时有解，三个底数 A、B、C 就不可能完全互素：它们至少必须有一个公共素因数。
为什么重要
它是数学中最著名的已解决问题之一（费马大定理）的自然延伸：当指数可以各不相同时，会发生什么？
已知的内容
从未找到过反例；这个猜想已在一个巨大的搜索范围内得到数值验证。商人兼数学爱好者安德鲁·比尔个人为证明或反例设立了 100 万美元的奖金，由美国数学学会管理。
仍未解决的部分
一个一般性证明，或者一个反例。
已核实的进展（附日期）
- 1993–97年安德鲁·比尔提出并推广这一猜想，同时设立奖金。
- 持续进行中奖金数额随时间增加（据报道为 100 万美元）；尚无任何证明或反例被接受。
这些进展能解决问题吗？
一项规模庞大、仍在扩展的计算机搜索没有找到任何反例。这很有启发性，但和本页其他经过数值检验的猜想完全一样，它不是证明。
未解决广义黎曼猜想（GRH）
数论
“所有零点都在同一条直线上”这一规律，是否不仅适用于黎曼 ζ 函数，也适用于一个大得多的相关函数族（狄利克雷 L 函数）？
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广义黎曼猜想（GRH）
数论
“所有零点都在同一条直线上”这一规律，是否不仅适用于黎曼 ζ 函数，也适用于一个大得多的相关函数族（狄利克雷 L 函数）？
普通的黎曼猜想（见上文）讨论的是一个特定的函数。数学家还研究一整个密切相关的函数族，其中每个函数都与等差数列（如 3、7、11、15……这样按固定步长增加的数）中的规律相联系。GRH 把同样的“零点都在一条直线上”的预言，一次性推广到这个函数族中的每一个函数。
为什么重要
现代数论中相当大的一部分——特别是关于等差数列中素数的结果，以及计算数论中的若干算法——都是在假设 GRH 成立的条件下证明的。一旦证明 GRH，这些结果都将变成无条件成立。
已知的内容
证明 GRH 将自动把普通的黎曼猜想作为特例一并证明。因此，在精确的意义上，GRH 是一个更难、严格更强的未解问题。
仍未解决的部分
普通黎曼猜想仍然需要的一切，再同时推广到无穷多个额外的函数上。
已核实的进展（附日期）
- 持续进行中它与普通黎曼猜想一样，呈现出计算验证加部分解析结果的模式，只是推广到了更多函数上，因此到目前为止覆盖的范围也相应更小。
这些进展能解决问题吗？
由于 GRH 蕴含 RH，而 RH 本身尚未得到证明，所以 GRH 目前不可能比 RH 更接近解决。它继承了同样的未解状态，而问题本身严格更大。
独立于指定公理连续统假设
集合论 / 数理逻辑
是否存在一种无穷的“大小”，严格介于正整数集合的大小和实数集合的大小之间？
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连续统假设
集合论 / 数理逻辑
是否存在一种无穷的“大小”，严格介于正整数集合的大小和实数集合的大小之间？
无穷的“大小”不止一种。正整数（1、2、3……）有无穷多个，但实数（数轴上的每一个点，包括其间所有的小数）构成了一个严格更大的无穷。连续统假设问的是：在这两者之间，是否存在一种严格介于其中的无穷大小。
为什么重要
它是大卫·希尔伯特 1900 年著名的 23 个未解问题清单上的第一个问题，而它的解决过程从根本上改变了数学家对“证明”究竟能解决什么问题的理解。
已知的内容
这不是一个等待巧妙想法的普通未解猜想。库尔特·哥德尔在 1940 年证明，从集合论的标准公理（ZFC）出发，无法否定连续统假设。保罗·科恩在 1963 年又证明，从同一组公理出发，也无法证明它成立。这两个结果合起来意味着：连续统假设独立于 ZFC。数学的标准规则对这个问题根本没有给出任何一个方向的答案。
仍未解决的部分
在标准的 ZFC 集合论内部，已经没有什么需要证明了：哥德尔和科恩的结果永久地关闭了这个问题。剩下的是一个确实不同、仍在进行中的问题：是否应该为集合论添加某个新的、有独立充分理由的公理，从而在某个方向上解决它。这是一个活跃的研究领域，但在哲学性质上有所不同。
已核实的进展（附日期）
- 1878年格奥尔格·康托尔提出连续统假设。
- 1900年大卫·希尔伯特把它列为 23 个重大未解问题中的第一个。
- 1940年库尔特·哥德尔证明，无法从 ZFC 出发否定 CH。
- 1963年保罗·科恩证明，也无法从 ZFC 出发证明 CH，从而确立了独立性。
这些进展能解决问题吗？
独立性本身就是 ZFC 框架内最终、完整的答案。这与本页其他所有条目在性质上完全不同：在那些条目中，“未解决”意味着“尚未证明”，而不是“已被证明无法证明”。
曾经悬而未决，如今尘埃落定
已解决的问题，以及如何解决
下面的每一个问题，都曾经处在上面那些未解问题如今所处的位置。有的靠纯粹的人类推理攻克，有的需要计算机检验多到任何人都无法完成的情况。从 2025 年起，又出现了一个新的类别：由 AI 自己找到关键思路的结果。对每一个问题，我们都清楚地说明机器实际做了什么，以及结果是如何被核实的。状态核实日期：2026年10月3日。
费马大定理
提出于 1637年 · 解决于 1994年（1995年发表）
安德鲁·怀尔斯，与理查德·泰勒合作
当 n 大于 2 时，aⁿ + bⁿ = cⁿ 有可能在正整数中成立吗？
皮埃尔·德·费马在一本书的页边写道，他有一个绝妙的证明，说明答案是否定的，只是页边太窄写不下。此后 358 年，没有人找到证明。安德鲁·怀尔斯花了七年时间，在很大程度上秘密地研究这个问题，于 1993 年宣布了一个证明，随后又发现其中有一个漏洞；他和以前的学生理查德·泰勒一起，在 1994 年修补了这个漏洞。
计算机或 AI 做了什么
没有。这是一个深刻的结果完全由人类推理证明的经典现代例子。
我们如何知道它是对的
经过专家审稿，于 1995 年发表在《数学年刊》上；已被普遍接受。
四色定理
提出于 1852年 · 解决于 1976年
肯尼斯·阿佩尔和沃尔夫冈·哈肯
是否每一张平面地图都只用四种颜色就能着色，使得任意两个相邻的国家颜色都不同？
1852 年，弗朗西斯·格斯里注意到，给英格兰各郡的地图着色时，四种颜色似乎总是够用。阿佩尔和哈肯把整个问题归结为检验将近两千种特殊的地图构形，数量多到无法人工检验，于是他们用了一千多个小时的计算机时间来完成检验。这是第一个没有人能完整读完其证明的著名定理。
计算机或 AI 做了什么
检验了人类论证所归结出的每一种构形。
我们如何知道它是对的
起初颇有争议，因为没有人能人工核实。1996 年出现了一个更简单的计算机证明（罗伯逊、桑德斯、西摩和托马斯），2005 年乔治·贡捷和本杰明·维尔纳在证明助手 Coq 中检查了整个证明：每一个逻辑步骤都经过了机器验证。
图示：为什么可能需要四种颜色
罗宾斯猜想
提出于 1930年代 · 解决于 1996年
威廉·麦丘恩的自动证明器 EQP（阿贡国家实验室）
三条简单的规则（罗宾斯公理）所描述的代数，是否与标准的布尔代数——每块计算机芯片里的逻辑——完全相同？
赫伯特·罗宾斯在 1933 年后不久提出了这个问题，包括阿尔弗雷德·塔斯基在内的一些本世纪最优秀的逻辑学家都尝试过，但都没有成功。1996 年，威廉·麦丘恩的自动定理证明器 EQP 自己搜索证明，在大约八天的计算之后找到了一个。
计算机或 AI 做了什么
自己找到了证明，而不只是检验人类事先设定好的情况。这是最早以这种方式解决的真正未解问题之一。
我们如何知道它是对的
这个证明足够短，人类可以阅读和检查，并且已被确认正确。
开普勒猜想
提出于 1611年 · 解决于 1998年（2014年完成形式化验证）
托马斯·黑尔斯，与塞缪尔·弗格森合作
水果摊上堆成金字塔的橙子，是否就是相同球体最密的堆积方式？
约翰内斯·开普勒在 1611 年宣称，没有任何相同球体的堆积方式能胜过我们熟悉的这种堆法，它大约填满了 74% 的空间。托马斯·黑尔斯把问题转化为一个涉及数千种可能排列的巨大优化问题，并用计算机求解，于 1998 年宣布了证明。审稿人表示他们“99% 确定”证明是对的，但无法检查每一步计算。
计算机或 AI 做了什么
求解了数千个优化问题，这些问题合在一起排除了任何更密的排列。
我们如何知道它是对的
为了消除剩余的疑问，黑尔斯领导了 Flyspeck 项目，用证明助手软件检查了整个证明。该项目于 2014 年完成，因此这一结果现在已完全经过机器验证。
图示：水果摊上的堆法
这种排列的密度：π / √18 ≈ 空间的74.05%
布尔勾股数三元组问题
提出于 1980年代 · 解决于 2016年
马里恩·赫勒、奥利弗·库尔曼和维克托·马雷克
能否把正整数涂成红色或蓝色，使得没有任何一组勾股数（如 3、4、5）是同一种颜色？
罗纳德·格雷厄姆曾为这个问题的答案悬赏 100 美元。一个“SAT 求解器”（用来解决巨型真/假逻辑谜题的软件）在得克萨斯州的 Stampede 超级计算机上运行了大约两天。答案是：从 1 到 7,824 的每个数都可以做到，但到了 7,825 就不可能了。
计算机或 AI 做了什么
搜索了大约一万亿种经过巧妙压缩的情况，并生成了一份证明每一种情况都失败的证书。
我们如何知道它是对的
这份证书有 200 TB 大，《自然》杂志当时称之为有史以来最大的数学证明，并由独立的证明检查软件进行了核验。赫勒获得了格雷厄姆的 100 美元奖金。
动手试试：给1到40着色，不出现同色的勾股数组
点一个数，让它在蓝色和红色之间切换。目标：任何满足 a² + b² = c² 的三数组（如3、4、5）都不能是同一种颜色。冲突三数组中的数会带上深色外圈。
16个同色三数组：3–4–5, 5–12–13, 6–8–10, 7–24–25…
凯勒猜想（7维）
提出于 1930年 · 解决于 2019年
约书亚·布拉肯西克、马里恩·赫勒、约翰·麦基和戴维·纳尔瓦埃斯
如果用完全相同的立方体填满空间，是否至少有两个立方体必须共用一整个面？
奥特–海因里希·凯勒对所有维度都提出了这个问题。人们证明它在 6 维及以下成立，在 8 维及以上不成立，于是 7 维在几十年里一直是最后的空白。2019 年，一个团队把这个问题转化为 SAT 问题，证明了这个猜想在七维中成立。
计算机或 AI 做了什么
通过利用对称性压缩后的穷举搜索，解决了最后剩下的情形。
我们如何知道它是对的
生成了一份约 200 GB 的证明证书，并由独立的证明检查软件进行了核验。
三维挂谷猜想
提出于 1917年（转针问题）；现代形式的猜想提出得更晚 · 解决于 2025年
王虹和约书亚·扎尔
如果一根针在一个集合里可以指向所有方向，这个集合必须有多“大”？
挂谷宗一问过：要让一根针转一整圈，最少需要多大的地方？在三维中，现代的问题关心的是维数而不是面积：这样的集合是否必须是完整的三维？2025 年 2 月，王虹和约书亚·扎尔在网上发布了一篇 127 页的证明，答案是肯定的。这是王虹获得 2026 年菲尔兹奖的主要原因之一。
计算机或 AI 做了什么
没有。这是一个使用多尺度分析的人类证明。
我们如何知道它是对的
自 2025 年以来已被专家广泛审视（包括陶哲轩的一篇详细解读）；对这种篇幅的证明来说，期刊审稿是正常的下一步。
图示：把一根针转一整圈
格雷厄姆重排猜想
提出于 1971年 · 解决于 2026年（最后一篇论文发表于2026年2月）
四篇论文：Müyesser 与 Pokrovskiy；Kravitz 与 Bedert；一个联合团队；最后是莉莎·绍尔曼与 Huy Tuan Pham
在大小为素数的时钟上，任何一组非零的数，是否总能排成某种顺序，使每一个累计和都各不相同？
数学家、同时也是狂热杂耍爱好者的罗纳德·格雷厄姆在 1971 年提出了这个问题。不同的团队分别处理了非常小的集合、非常大的集合以及更多情形；最难的中间范围，由绍尔曼和 Pham 在 2026 年 2 月一篇 27 页的论文中，借助随机性和傅里叶分析最终解决。
计算机或 AI 做了什么
没有。这是一个以概率论为基础的人类证明。
我们如何知道它是对的
分布在不同团队的四篇论文中；《量子》杂志在 2026 年 9 月报道称，这一问题已被正式解决。
动手试试：在11小时的时钟上让部分和各不相同
把1, 2, 3, 5, 9, 10在一个11小时的时钟上一个一个加起来（12点在这里是0，13会绕回到2）。你能把它们排好，让每个累计和都落在不同的钟点上吗？
| 顺序 | 1 | 10 | 2 | 9 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 累计和 | 1 | 0 | 2 | 0 | 3 | 8 |
重复的累计和：0。再试一次。
埃尔德什单位距离猜想——被否定
提出于 1946年 · 解决于 2026年5月
OpenAI 的一个内部推理模型；由诺加·阿隆、托马斯·布鲁姆、蒂莫西·高尔斯等人核验
平面上 n 个点中，最多能有多少对点之间的距离恰好为 1？是否像埃尔德什认为的那样，只比 n 多一点点？
保罗·埃尔德什猜想，距离为 1 的点对数量只能比点的数量增长得稍快一点。2026 年 5 月，OpenAI 的一个模型利用代数数论中的深刻工具，构造出一族无穷的点集，以 n 的一个真正的幂次超越了这个界。随后威尔·索温把这一改进明确写了出来：点对数量超过 n 的 1.014 次方，此后又有进一步改进。
计算机或 AI 做了什么
找到了关键的构造和论证。OpenAI 称，这是 AI 第一次自主解决数学某个分支中的核心未解问题。
我们如何知道它是对的
包括菲尔兹奖得主蒂莫西·高尔斯和雅各布·齐默曼在内的九位顶尖数学家核验了这一结果，并撰写了一篇配套论文。吉尔·卡莱把它的重要性与 1976 年的四色定理证明相提并论。
图示：数一数单位距离
19个点，42对距离恰好为1
九个埃尔德什问题：AlphaProof Nexus
提出于 时间不一，最久的已有 56 年 · 解决于 2026年5月
Google DeepMind 的 AlphaProof Nexus（Gemini + Lean 证明检查器）
AI 系统能否为真正未解决的研究问题给出经过机器检查的证明？
DeepMind 让它的智能体 AlphaProof Nexus 去攻克埃尔德什问题数据库中的 353 个未解问题。它解决了其中 9 个（包括两个已悬而未决 56 年的问题），还证明了《整数数列在线百科全书》（OEIS）中的 44 个猜想。
计算机或 AI 做了什么
搜索证明，并直接用 Lean 写出来；Lean 是一种计算机可以逐行检查的语言。
我们如何知道它是对的
每一个证明都能在 Lean 中编译通过，因此每一个逻辑步骤都经过了机器验证；证明已在 GitHub 上公开。注意成功率：353 个中只有 9 个，约 2.5%。
存在非 sofic 群
提出于 1999年 · 解决于 2026年8月（已宣布）
OpenAI 尚未发布的模型“Astra”
是否每一个群都是“sofic”的，也就是在米哈伊尔·格罗莫夫引入的意义下，可以用有限置换来逼近？
2026 年 8 月 1 日，OpenAI 宣布了其下一代模型 Astra 取得的十项成果。其中最受瞩目的是第一次构造出非 sofic 群，回答了群论中一个存在了 27 年的问题。此外还包括三个埃尔德什问题，以及自 1978 年以来对球堆积一般性上界的首次改进。
计算机或 AI 做了什么
为全部十项成果给出了证明和 Lean 证书。
我们如何知道它是对的
Lean 证书已经公开，其中没有未经证明的步骤。一项独立的人工审查（Sienicki 与 Sienicki，2026 年 9 月 9 日定稿）没有在主要结果中发现经确认的实质性错误，不过审查深度不一，其中一项结果被一位专家要求进行大幅修改。已有数学家在这一群论结果的基础上开展研究。截至我们的状态核实日期，期刊同行评审尚未结束。
仔细阅读关于 AI 的标题
并不是每条“AI 解决了它”的标题都属实
2025 年 10 月，OpenAI 员工发帖称 GPT-5 解决了十个“未解决”的埃尔德什问题。负责维护埃尔德什问题数据库的托马斯·布鲁姆指出，他网站上的“未解决”只表示他本人不知道有解法：模型其实是在旧论文中找到了已有的解法。这些帖子后来被删除。找出被遗忘的文献确实很有用，但这并不等于解决了问题。
The Decoder — OpenAI researcher announced a GPT-5 math breakthrough that never happened机器如何从 1976 年检验各种情况，一路发展到 2026 年自己找到证明，完整的故事请看我们的文章计算机解决的难题：机器帮助攻克的著名数学问题。
亲自试试其中两个
考拉兹猜想和哥德巴赫猜想都很容易用手检验，而两者都恰好说明了为什么检验不等于证明。
亲自试试：考拉兹探索工具
选一个 1 到 9,999 之间的正整数。规则是：如果是偶数，就减半；如果是奇数，就乘以 3 再加 1。不断重复。
27 → 82 → 41 → 124 → 62 → 31 → 94 → 47 → 142 → 71 → 214 → 107 → 322 → 161 → 484 → 242 → 121 → 364 → 182 → 91 … → 70 → 35 → 106 → 53 → 160 → 80 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1
共 111 步，最大值为 9,232，最终落到 1。
以这种方式检验过的每一个正整数（计算机已经检验了大约 2⁶⁸、约 3 万京以内的每一个数）最终都会到达 1。没有人证明过对每一个正整数都是如此，也没有人找到过反例。“对检验过的每一个数都成立”与“对每一个数都成立”之间的这道差距，正是它仍是未解问题而不是已解决问题的原因。
考拉兹猜想：试过的每一个数都会到达 1，但“试过的每一个数”并不等于“每一个数”。
亲自试试：哥德巴赫素数对查找器
选一个不超过 100,000 的偶数。（强）哥德巴赫猜想说，它总能写成两个素数之和。
100 =
- 3 + 97 = 100
- 11 + 89 = 100
- 17 + 83 = 100
- 29 + 71 = 100
- 41 + 59 = 100
- 47 + 53 = 100
迄今检验过的每一个偶数（通过分布式计算机搜索，检验到大约 4 × 10¹⁸）都至少有一对这样的素数。从来没有发现过例外，也没有证明说例外永远不会出现。（一个较弱的相关命题——每个大于 5 的奇数都是三个素数之和——已在 2013 年由哈拉尔德·赫尔夫戈特证明。那是一个确实不同的、已解决的命题；它并没有证明上面更强的两个素数版本。）
强哥德巴赫猜想：试过的每一个偶数都有一对素数，但同样，并不是每一个偶数都试过了。
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更新记录
- 2026年10月3日：新增“已解决的问题，以及如何解决”：11 个曾经未解决的问题，说明每个问题是如何解决的（人工、计算机辅助、由计算机找到或由 AI 完成）、如何被核实，并附出处。同日发布中文版。
- 2026年10月2日：页面创建；全部 15 个条目都经过研究，并依据一手资料核实了状态。
想把七个官方千禧年大奖难题作为一个连贯的故事、配上具体例子来了解吗？阅读我们的配套文章。好奇 AI 能否解决其中某个问题？AI真的会做数学吗？