Aquí tienes un enigma que un niño de 12 años puede entender y que a los matemáticos del mundo les costó 55 años resolver. Toma unos cuantos números en un reloj. ¿Puedes ordenarlos siempre de modo que, al sumarlos de uno en uno, nunca caigas dos veces en la misma hora? En febrero de 2026 se publicó la última pieza de la demostración. Y la herramienta clave no fue un truco para un orden concreto, sino el azar.
El enigma
Núcleo GCSE
La aritmética del reloj es aritmética que da la vuelta. En un reloj de 11 horas, 8 + 5 no es 13 sino 2, porque 13 pasa de 11 y vuelve a empezar. Los matemáticos lo llaman calcular «módulo 11». Ahora toma varios números distintos que no sean 0, por ejemplo 1, 2, 3, 5, 9 y 10, súmalos en algún orden y anota cada suma acumulada. Pruébalo:
Pruébalo tú: sumas parciales distintas en un reloj de 11 horas
Los números 1, 2, 3, 5, 9, 10, sumados de uno en uno en un reloj de 11 horas (las 12 valen 0, y el 13 vuelve al 2). ¿Puedes ordenarlos para que cada suma acumulada caiga en una hora distinta?
| Orden | 1 | 10 | 2 | 9 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Suma acumulada | 1 | 0 | 2 | 0 | 3 | 8 |
Suma repetida: 0. Inténtalo de nuevo.
Ronald Graham, un matemático célebre que además era un malabarista experto (Quanta señala que la pregunta recuerda a los patrones de malabares, donde dos pelotas nunca deben caer en el mismo tiempo), preguntó en 1971 si siempre existe un buen orden, para todo número primo p y todo conjunto de números no nulos.
Ilustración: las sumas acumuladas como saltos alrededor de un reloj de 11 horas
Empieza en 0 y suma 1, 2, 3, 9, 5, 10 por turnos:
- +1 → hora 1
- +2 → hora 3
- +3 → hora 6
- +9 → hora 4
- +5 → hora 9
- +10 → hora 8
La distinción que los alumnos suelen confundir
Comprobar ejemplos no es una demostración
Por qué era difícil: tres tamaños de problema
Ampliación de grado
Lo que hace difícil el problema depende de cuántos números tengas comparado con el tamaño del reloj.
- Conjuntos muy pequeños (por ejemplo, 100 números en un reloj de mil millones de horas): hay mucho espacio, pero hay que descartar cualquier coincidencia desafortunada. Kravitz y Bedert resolvieron este caso en 2024.
- Conjuntos casi llenos (casi todas las horas están ocupadas): apenas hay margen. Müyesser y Pokrovskiy encontraron un camino: apartar unos pocos números elegidos con cuidado, mezclar el resto al azar y luego reparar los puntos problemáticos insertando los números de reserva.
- El medio (alrededor de la mitad de las horas): demasiado lleno para los métodos de conjuntos pequeños y demasiado vacío para los de grandes. Era el último hueco.
La última pieza: azar y ondas
Ampliación de máster
Sauermann y Pham partieron de un orden aleatorio de los números. En un orden aleatorio, una suma acumulada repetida es un «mal suceso». Tenían que demostrar dos cosas: que los malos sucesos son lo bastante raros y que los pocos que ocurren se pueden reparar reordenando. Para demostrar que son raros usaron el análisis de Fourier, la misma idea que descompone un sonido en ondas senoidales puras, y probaron que las combinaciones aleatorias de los números no favorecen ninguna suma concreta. Su procedimiento de reparación corrige el orden al menos el 90 % de las veces, y eso basta: si un proceso aleatorio tiene éxito con probabilidad positiva, tiene que existir un buen orden.
Como explicaron los investigadores a Quanta Magazine, lo llamativo del método es que, si lo haces al azar, lo más probable es que funcione, aunque sea difícil describir explícitamente cómo es la solución. Este «método probabilístico», que demuestra que algo existe sin escribirlo nunca, es una de las ideas más potentes de la combinatoria moderna.
Comprobación rápida
Sauermann y Pham demostraron que un orden aleatorio se puede reparar al menos el 90 % de las veces. ¿Por qué eso demuestra que siempre existe un buen orden?
La cronología
Cronología
- 1971Ronald Graham plantea la pregunta de la reordenación para números en un reloj con un número primo de horas.
- 2024Noah Kravitz y Benjamin Bedert resuelven el caso de los conjuntos muy pequeños, por ejemplo 100 números en un reloj de unos mil millones de horas.
- 2022–2025Alp Müyesser y Alexey Pokrovskiy tratan los conjuntos que contienen casi todos los números posibles; un equipo conjunto extiende los métodos a más casos.
- Feb. 2026Lisa Sauermann y Huy Tuan Pham cierran el último hueco, los conjuntos de tamaño medio, en un artículo de 27 páginas que completa la demostración.
- Sept. 2026Quanta Magazine cuenta la resolución en cuatro artículos de la conjetura de 55 años.
Resuelto por personas, en la era de la IA
2026 ha estado lleno de titulares sobre la IA resolviendo problemas de matemáticas, algunos reales y otros no, como explica nuestro artículo Resuelto por ordenador. La conjetura de Graham recuerda que el avance más profundo todavía suele venir de las personas: cuatro equipos que, durante varios años, construyeron sobre las ideas de los demás y convirtieron el azar en certeza.
Fuentes y lecturas adicionales
- Mathematicians Harness Randomness To Crack a 55-Year-Old Conjecture — Quanta Magazine (28 Sep 2026) — los cuatro artículos, la división en casos y el método de Sauermann y Pham
- Probabilistic method — Wikipedia
- Modular arithmetic — Wikipedia
Última revisión: 3 de octubre de 2026, según el artículo de Quanta Magazine del 28 de septiembre de 2026 citado arriba.
Preguntas frecuentes
¿Qué dice exactamente la conjetura de reordenación de Graham?
Toma un número primo p y cualquier colección de números distintos y no nulos en un reloj de p horas (aritmética «módulo p»). Entonces siempre se pueden ordenar de modo que las sumas acumuladas (el primer número, los dos primeros sumados, los tres primeros, etc.) caigan todas en horas distintas. Ahora es un teorema, demostrado en cuatro artículos, el último en febrero de 2026.
¿Quién resolvió la conjetura de Graham?
Nadie en solitario. Noah Kravitz y Benjamin Bedert trataron los conjuntos muy pequeños; Alp Müyesser y Alexey Pokrovskiy los que contienen casi todos los números, con un equipo conjunto que amplió sus métodos; y Lisa Sauermann (Universidad de Bonn) y Huy Tuan Pham (Universidad de Chicago) cerraron el último caso, el de tamaño medio, en febrero de 2026.
¿La demostración la encontró un ordenador o una IA?
No. Es una demostración humana, construida con probabilidad (órdenes aleatorios) y análisis de Fourier. Los ordenadores pueden comprobar rápido casos pequeños, como el ejemplo de seis números de esta página, pero ninguna comprobación cubre todos los primos y todos los conjuntos. Por eso hacía falta una demostración.
¿Por qué importa que el tamaño del reloj sea primo?
En un reloj con un número primo de horas, sumar repetidamente un número no nulo recorre todas las horas antes de volver al inicio, lo que da a la aritmética una estructura muy regular. La conjetura, y su demostración, tratan de ese caso primo.
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Sobre el autor
Sudershan Soni
Fundador y tutor principal en Mostak Services — tutor de matemáticas, ciencias, informática y STEM titulado con máster, con más de 20 años de experiencia profesional, enseñando a alumnos desde el 11+ y el GCSE hasta el A-Level y más allá, en línea en todo el mundo.
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