یہ ایک ایسی پہیلی ہے جسے 12 سال کا بچہ بھی سمجھ سکتا ہے، مگر دنیا کے ریاضی دانوں کو اسے حل کرنے میں 55 سال لگے۔ گھڑی پر چند اعداد لیں۔ کیا آپ انہیں ہمیشہ ایسی ترتیب میں لگا سکتے ہیں کہ ایک ایک کر کے جمع کرتے ہوئے آپ کبھی ایک ہی گھنٹے پر دو بار نہ رکیں؟ فروری 2026 میں اس کے ثبوت کا آخری ٹکڑا شائع ہوا۔ اور فیصلہ کن اوزار کسی خاص ترتیب کی کوئی چالاکی نہیں، بلکہ بے ترتیبی تھی۔
پہیلی
GCSE بنیادی
گھڑی کا حساب ایسا حساب ہے جو گھوم کر پھر شروع ہو جاتا ہے۔ 11 گھنٹوں والی گھڑی پر 8 + 5 کا جواب 13 نہیں بلکہ 2 ہے، کیونکہ 13 گھڑی کے 11 سے آگے نکل کر پھر شروع سے گنا جاتا ہے۔ ریاضی دان اسے “ماڈیولو 11” حساب کہتے ہیں۔ اب چند مختلف اعداد لیں جو 0 نہ ہوں، جیسے 1، 2، 3، 5، 9 اور 10، انہیں کسی ترتیب میں جمع کریں اور ہر جمع شدہ مجموعہ لکھیں۔ آزمائیں:
خود آزمائیں: 11 گھنٹوں والی گھڑی پر الگ الگ جزوی مجموعے
اعداد 1, 2, 3, 5, 9, 10، جنہیں 11 گھنٹوں والی گھڑی پر ایک ایک کر کے جمع کیا جاتا ہے (یہاں 12 بجے کا مطلب 0 ہے، اور 13 گھوم کر 2 ہو جاتا ہے)۔ کیا آپ انہیں ایسی ترتیب میں لگا سکتے ہیں کہ ہر جمع شدہ مجموعہ الگ گھنٹے پر پڑے؟
| ترتیب | 1 | 10 | 2 | 9 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| جمع شدہ مجموعہ | 1 | 0 | 2 | 0 | 3 | 8 |
دہرایا گیا مجموعہ: 0۔ دوبارہ کوشش کریں۔
رونالڈ گراہم ایک مشہور ریاضی دان تھے اور ماہر بازیگر (جگلر) بھی (Quanta لکھتا ہے کہ یہ سوال جگلنگ کے نمونوں جیسا ہے، جہاں دو گیندیں کبھی ایک ہی تال پر نہیں گرنی چاہییں)۔ انہوں نے 1971 میں پوچھا کہ کیا ہر مفرد عدد p اور غیر صفر اعداد کے ہر مجموعے کے لیے ایک اچھی ترتیب ہمیشہ موجود ہوتی ہے۔
وضاحت: جمع شدہ مجموعے، 11 گھنٹوں والی گھڑی پر چھلانگوں کی صورت میں
0 سے شروع کریں، پھر باری باری 1, 2, 3, 9, 5, 10 جمع کریں:
- +1 ← گھنٹا 1
- +2 ← گھنٹا 3
- +3 ← گھنٹا 6
- +9 ← گھنٹا 4
- +5 ← گھنٹا 9
- +10 ← گھنٹا 8
وہ فرق جسے طلبہ اکثر گڈمڈ کر دیتے ہیں
مثالیں جانچنا ثبوت نہیں ہے
یہ مشکل کیوں تھا: مسئلے کے تین سائز
انڈر گریجویٹ توسیع
مسئلہ کتنا مشکل ہے، یہ اس پر منحصر ہے کہ گھڑی کے سائز کے مقابلے میں آپ کے پاس کتنے اعداد ہیں۔
- بہت چھوٹے مجموعے (مثلاً ایک ارب گھنٹوں والی گھڑی پر 100 اعداد): جگہ بہت ہے، مگر ہر بدقسمت اتفاق کو خارج کرنا پڑتا ہے۔ کراوِٹز اور بیڈرٹ نے 2024 میں یہ معاملہ حل کیا۔
- تقریباً بھرے ہوئے مجموعے (تقریباً ہر گھنٹا استعمال ہو چکا ہے): ہلنے جلنے کی جگہ تقریباً نہیں۔ میویسر اور پوکروفسکی نے راستہ نکالا: چند خاص چنے ہوئے اعداد الگ رکھو، باقی کو بے ترتیب ملاؤ، پھر الگ رکھے اعداد ڈال کر مسئلے والی جگہیں ٹھیک کرو۔
- درمیانی حصہ (تقریباً آدھے گھنٹے): چھوٹے مجموعوں کے طریقوں کے لیے بہت بھرا ہوا، بڑے مجموعوں کے طریقوں کے لیے بہت خالی۔ یہی آخری خلا تھا۔
آخری ٹکڑا: بے ترتیبی اور لہریں
پوسٹ گریجویٹ توسیع
زاؤرمان اور فام نے اعداد کی ایک بے ترتیب ترتیب سے آغاز کیا۔ بے ترتیب ترتیب میں دہرایا گیا جمع شدہ مجموعہ ایک “بُرا واقعہ” ہے۔ انہیں دو باتیں دکھانی تھیں: کہ بُرے واقعات کافی نایاب ہیں، اور جو چند ہوتے ہیں انہیں ترتیب بدل کر ٹھیک کیا جا سکتا ہے۔ نایاب ہونا دکھانے کے لیے انہوں نے فوریئر تجزیہ استعمال کیا، وہی خیال جو کسی آواز کو خالص سائن لہروں میں توڑتا ہے، اور ثابت کیا کہ اعداد کے بے ترتیب امتزاج کسی خاص مجموعے کی طرف جھکاؤ نہیں رکھتے۔ ان کا اصلاحی طریقہ کم از کم 90% بار ترتیب ٹھیک کر دیتا ہے، اور اتنا کافی ہے: اگر کوئی بے ترتیب عمل مثبت احتمال سے کامیاب ہوتا ہے تو ایک اچھی ترتیب کا موجود ہونا لازم ہے۔
جیسا کہ محققین نے Quanta Magazine کو بتایا، اس طریقے کی حیران کن بات یہ ہے کہ اگر آپ اسے بے ترتیب طور پر کریں تو یہ غالباً کام کر جائے گا، اگرچہ واضح طور پر بتانا مشکل ہے کہ حل کیسا دکھتا ہے۔ یہ “احتمالی طریقہ”، جو کسی چیز کو لکھے بغیر اس کا وجود ثابت کر دیتا ہے، جدید کومبی نیٹوریکس کے طاقتور ترین خیالات میں سے ایک ہے۔
فوری جانچ
زاؤرمان اور فام نے دکھایا کہ بے ترتیب ترتیب کو کم از کم 90% بار ٹھیک کیا جا سکتا ہے۔ اس سے یہ کیوں ثابت ہوتا ہے کہ اچھی ترتیب ہمیشہ موجود ہے؟
ٹائم لائن
ٹائم لائن
- 1971رونالڈ گراہم مفرد عدد جتنے گھنٹوں والی گھڑی پر اعداد کے لیے ازسرِنو ترتیب کا سوال اٹھاتے ہیں۔
- 2024نوآ کراوِٹز اور بینجمن بیڈرٹ بہت چھوٹے مجموعوں کا معاملہ حل کرتے ہیں، جیسے تقریباً ایک ارب گھنٹوں والی گھڑی پر 100 اعداد۔
- 2022–2025آلپ میویسر اور الیکسی پوکروفسکی تقریباً تمام ممکنہ اعداد والے مجموعوں سے نمٹتے ہیں؛ ایک مشترکہ ٹیم طریقوں کو مزید معاملات تک پھیلاتی ہے۔
- فروری 2026لیزا زاؤرمان اور ہوئی توان فام 27 صفحات کے مقالے میں آخری خلا، درمیانے سائز کے مجموعے، پُر کر کے ثبوت مکمل کرتے ہیں۔
- ستمبر 2026Quanta Magazine چار مقالوں میں اس 55 سال پرانے قیاس کے حل کی کہانی شائع کرتا ہے۔
AI کے دور میں، انسانوں نے حل کیا
2026 میں AI کے ریاضی کے مسائل حل کرنے کی سرخیاں بھری رہیں، کچھ سچی، کچھ نہیں، جیسا کہ ہمارا مضمون کمپیوٹر سے حل ہونے والے مسائل سمجھاتا ہے۔ گراہم کا قیاس یاد دلاتا ہے کہ سب سے گہری پیش رفت اب بھی اکثر انسانوں سے آتی ہے: چار ٹیمیں، جنہوں نے کئی برسوں تک ایک دوسرے کے خیالات پر تعمیر کی اور بے ترتیبی کو یقین میں بدل دیا۔
ماخذ اور مزید مطالعہ کے لیے
- Mathematicians Harness Randomness To Crack a 55-Year-Old Conjecture — Quanta Magazine (28 Sep 2026) — چار مقالے، معاملات کی تقسیم، اور زاؤرمان اور فام کا طریقہ
- Probabilistic method — Wikipedia
- Modular arithmetic — Wikipedia
آخری جانچ: 3 اکتوبر 2026، اوپر حوالہ دی گئی Quanta Magazine کی 28 ستمبر 2026 کی رپورٹ کی بنیاد پر۔
عمومی سوالات
گراہم کا ازسرِنو ترتیب کا قیاس ٹھیک ٹھیک کیا کہتا ہے؟
ایک مفرد عدد p اور p گھنٹوں والی گھڑی پر مختلف غیر صفر اعداد کا کوئی بھی مجموعہ لیں (“ماڈیولو p” حساب)۔ تب انہیں ہمیشہ ایسی ترتیب میں لگایا جا سکتا ہے کہ جمع شدہ مجموعے (پہلا عدد، پہلے دو کا مجموعہ، پہلے تین کا مجموعہ، وغیرہ) سب الگ گھنٹوں پر پڑیں۔ اب یہ ایک مسئلہ اثبات شدہ (تھیورم) ہے، چار مقالوں میں ثابت، جن میں آخری فروری 2026 میں آیا۔
گراہم کا قیاس کس نے حل کیا؟
کسی ایک شخص نے نہیں۔ نوآ کراوِٹز اور بینجمن بیڈرٹ نے بہت چھوٹے مجموعے سنبھالے؛ آلپ میویسر اور الیکسی پوکروفسکی نے تقریباً تمام اعداد والے مجموعے، اور ایک مشترکہ ٹیم نے ان کے طریقے آگے بڑھائے؛ اور لیزا زاؤرمان (بون یونیورسٹی) اور ہوئی توان فام (شکاگو یونیورسٹی) نے فروری 2026 میں آخری، درمیانے سائز والا معاملہ حل کیا۔
کیا ثبوت کسی کمپیوٹر یا AI نے ڈھونڈا؟
نہیں۔ یہ انسانوں کا بنایا ہوا ثبوت ہے، جو احتمال (بے ترتیب ترتیبوں) اور فوریئر تجزیے پر مبنی ہے۔ کمپیوٹر چھوٹے معاملات جلدی جانچ سکتے ہیں، جیسے اس صفحے کی چھ اعداد والی مثال، مگر کوئی بھی جانچ ہر مفرد عدد اور ہر مجموعے کو نہیں ڈھک سکتی۔ اسی لیے ثبوت ضروری تھا۔
گھڑی کے گھنٹوں کی تعداد کا مفرد ہونا کیوں اہم ہے؟
مفرد عدد جتنے گھنٹوں والی گھڑی پر کسی غیر صفر عدد کو بار بار جمع کرنے سے، شروعات پر لوٹنے سے پہلے ہر گھنٹے سے گزرنا پڑتا ہے۔ اس سے حساب کو بہت باقاعدہ ساخت ملتی ہے۔ قیاس اور اس کا ثبوت اسی مفرد والے معاملے کے بارے میں ہیں۔
قارئین کی درجہ بندی اور تبصرے
اس مضمون کو کئی مختلف پہلوؤں پر درجہ دیں — آپ کی درجہ بندی دوسرے قارئین کی مدد کرتی ہے، اور ہمیں بہتر بنانے میں مدد کرتی ہے۔
کیا یہ مضمون مفید تھا؟
ہمیں اپنی رائے بتائیں — کوئی اصلاح، کوئی سوال جس کا جواب نہیں ملا، یا کوئی موضوع جسے آپ اگلی بار کور ہوتے دیکھنا چاہتے ہیں۔
بات کرنا پسند کریں گے؟ اپنی سہولت کے وقت مفت ویڈیو کال بک کریں: فوری سوال کے لیے 15 منٹ، باقی کے لیے 30 منٹ۔ اوقات آپ کے اپنے ٹائم زون میں دکھائے جاتے ہیں۔
مصنف کے بارے میں
Sudershan Soni
موسٹک سروسز میں بانی اور مرکزی استاد — MSc اہلیت یافتہ ریاضی، سائنس، کمپیوٹر سائنس اور STEM کے استاد، 20 سال سے زائد پیشہ ورانہ تجربے کے ساتھ، 11+ اور GCSE سے A-Level اور اس سے آگے تک کے طلبہ کو دنیا بھر میں آن لائن پڑھاتے ہیں۔
مکمل پروفائل پڑھیں