有一道谜题，12岁的孩子都能看懂，却让全世界的数学家花了55年才解决。在时钟上取几个数。你是否总能把它们排成一个顺序，使得一个一个加起来时，从不两次停在同一个钟点？2026年2月，证明的最后一块拼图发表了。而关键的工具，不是针对某个特定顺序的巧妙技巧，而是“随机性”。
谜题
GCSE核心
时钟算术就是会“绕回去”的算术。在一个11小时的时钟上，8 + 5不是13，而是2，因为13超过了11，又从头开始数。数学家把这称为“模11”计算。现在取几个不同且不为0的数，比如1、2、3、5、9和10，按某个顺序把它们加起来，并记下每一个累计和。试一试：
动手试试：在11小时的时钟上让部分和各不相同
把1, 2, 3, 5, 9, 10在一个11小时的时钟上一个一个加起来（12点在这里是0，13会绕回到2）。你能把它们排好，让每个累计和都落在不同的钟点上吗？
| 顺序 | 1 | 10 | 2 | 9 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 累计和 | 1 | 0 | 2 | 0 | 3 | 8 |
重复的累计和：0。再试一次。
罗纳德·格雷厄姆是一位著名数学家，也是一位杂耍高手（《Quanta》指出，这个问题让人联想到杂耍的节奏模式：两个球绝不能落在同一拍上）。1971年，他问：对于任意质数p和任意一组非零数，是否“总是”存在一个好的顺序？
图示：把累计和看作在11小时时钟上的跳跃
从0出发，依次加上1, 2, 3, 9, 5, 10：
- +1 → 钟点 1
- +2 → 钟点 3
- +3 → 钟点 6
- +9 → 钟点 4
- +5 → 钟点 9
- +10 → 钟点 8
学生常常混淆的区别
检验例子不等于证明
为什么难：三种规模的问题
本科拓展
这个问题难在哪里，取决于数的个数和时钟大小相比是多少。
- 非常小的数组（比如在一个十亿小时的时钟上只有100个数）：空间很充裕，但必须排除每一种不走运的巧合。克拉维茨和贝德特在2024年解决了这种情形。
- 几乎填满的数组（几乎每个钟点都被用上）：几乎没有回旋余地。米耶塞尔和波克罗夫斯基找到了办法：先留出几个特别挑选的数，把其余的随机打乱，再把预留的数插进去，修补出问题的地方。
- 中间情形（大约一半的钟点）：对于处理小数组的方法来说太拥挤，对于处理大数组的方法来说又太稀疏。这是最后的缺口。
最后一块拼图：随机性与波
研究生拓展
绍尔曼和Pham从数的“随机”顺序出发。在随机顺序中，重复的累计和就是一个“坏事件”。他们需要证明两件事：坏事件足够少见，而且发生的少数坏事件可以通过重新排列来修复。为了证明坏事件少见，他们使用了傅里叶分析——就是把声音分解成纯正弦波的那个思想——证明了这些数的随机组合不会偏向任何一个特定的和。他们的修复程序至少有90%的概率能把顺序修好，这就够了：如果一个随机过程以正的概率成功，那么好的顺序就一定存在。
正如研究者对《Quanta Magazine》所解释的，这个方法最惊人的地方在于：随机去做，很可能就会成功，尽管很难明确描述解到底长什么样。这种“概率方法”——不把东西写出来就能证明它存在——是现代组合数学中最强大的思想之一。
快速检测
绍尔曼和Pham证明了随机顺序至少有90%的概率能被修复。为什么这就证明了好的顺序总是存在？
时间线
时间线
- 1971年罗纳德·格雷厄姆针对质数刻度时钟上的数，提出了重排问题。
- 2024年诺亚·克拉维茨和本杰明·贝德特解决了非常小数组的情形，比如在大约十亿小时的时钟上取100个数。
- 2022–2025年阿尔普·米耶塞尔和阿列克谢·波克罗夫斯基处理了几乎包含所有可能数的数组；一个联合团队把方法推广到更多情形。
- 2026年2月莉莎·绍尔曼和Huy Tuan Pham在一篇27页的论文中填补了最后的缺口——中等规模的数组，完成了证明。
- 2026年9月《Quanta Magazine》报道了这个55年猜想经由四篇论文得到解决。
在AI时代，由人类解决
2026年到处都是“AI解决数学问题”的新闻标题，有些属实，有些不然，正如我们的文章计算机解决的难题所解释的。格雷厄姆猜想提醒我们：最深刻的进展，仍常常来自人类——四个团队在几年间互相借鉴彼此的思想，把随机性变成了确定性。
参考资料与延伸阅读
- Mathematicians Harness Randomness To Crack a 55-Year-Old Conjecture — Quanta Magazine (28 Sep 2026) — 四篇论文、情形划分，以及绍尔曼和Pham的方法
- Probabilistic method — Wikipedia
- Modular arithmetic — Wikipedia
最后核实：2026年10月3日，依据上方引用的《Quanta Magazine》2026年9月28日的报道。
常见问题
格雷厄姆重排猜想到底说了什么？
取一个质数p，以及p小时时钟上任意一组互不相同的非零数（“模p”算术）。那么总能把它们排成一个顺序，使得各个累计和（第一个数、前两个数之和、前三个数之和，依此类推）都落在不同的钟点上。它现在已经是一个定理，由四篇论文证明，最后一篇发表于2026年2月。
是谁解决了格雷厄姆猜想？
不是某一个人。诺亚·克拉维茨和本杰明·贝德特处理了非常小的数组；阿尔普·米耶塞尔和阿列克谢·波克罗夫斯基处理了几乎包含所有数的数组，一个联合团队推广了他们的方法；最后在2026年2月，莉莎·绍尔曼（波恩大学）和Huy Tuan Pham（芝加哥大学）解决了最后的中等规模情形。
证明是计算机或AI找到的吗？
不是。这是一个人类完成的证明，建立在概率（随机顺序）和傅里叶分析之上。计算机可以很快检验小情形，比如本页这个六个数的例子，但任何检验都无法覆盖所有质数和所有数组。所以才需要证明。
为什么时钟刻度是质数很重要？
在质数刻度的时钟上，反复加同一个非零数，会在回到起点之前经过所有钟点，这让算术具有非常规则的结构。这个猜想及其证明，讨论的正是质数的情形。
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关于作者
Sudershan Soni
Mostak Services 的创始人兼首席导师——拥有硕士学位的数学、科学、计算机科学与 STEM 导师,拥有超过20年的职业经验,通过在线授课为全球从 11+ 和 GCSE 到 A-Level 及更高阶段的学生提供教学。
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