Voici une énigme qu'un enfant de 12 ans peut comprendre, et que les mathématiciens du monde entier ont mis 55 ans à trancher. Prenez quelques nombres sur une horloge. Pouvez-vous toujours les ranger dans un ordre tel que, en les additionnant un par un, vous ne tombiez jamais deux fois sur la même heure ? En février 2026, la dernière pièce de la démonstration a été publiée. Et l'outil clé n'a pas été une astuce sur un ordre particulier, mais le hasard.
L'énigme
Tronc commun GCSE
L'arithmétique de l'horloge, c'est de l'arithmétique qui fait le tour. Sur une horloge de 11 heures, 8 + 5 ne fait pas 13 mais 2, car 13 dépasse 11 et repart du début. Les mathématiciens appellent cela calculer « modulo 11 ». Prenez maintenant des nombres différents de 0, par exemple 1, 2, 3, 5, 9 et 10, additionnez-les dans un certain ordre et notez chaque total cumulé. Essayez :
À vous d'essayer : des sommes partielles distinctes sur une horloge de 11 heures
Les nombres 1, 2, 3, 5, 9, 10, additionnés un par un sur une horloge de 11 heures (midi y vaut 0, et 13 revient à 2). Pouvez-vous les ranger pour que chaque total cumulé tombe sur une heure différente ?
| Ordre | 1 | 10 | 2 | 9 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Total cumulé | 1 | 0 | 2 | 0 | 3 | 8 |
Total répété : 0. Réessayez.
Ronald Graham, mathématicien célèbre et aussi jongleur expert (Quanta remarque que la question rappelle les figures de jonglage, où deux balles ne doivent jamais retomber sur le même temps), a demandé en 1971 si un bon ordre existe toujours, pour tout nombre premier p et tout ensemble de nombres non nuls.
Illustration : les totaux cumulés comme des sauts autour d'une horloge de 11 heures
Partez de 0, puis ajoutez 1, 2, 3, 9, 5, 10 tour à tour :
- +1 → heure 1
- +2 → heure 3
- +3 → heure 6
- +9 → heure 4
- +5 → heure 9
- +10 → heure 8
La distinction que les élèves confondent souvent
Vérifier des exemples n'est pas une démonstration
Pourquoi c'était difficile : trois tailles de problème
Approfondissement licence
Ce qui rend le problème difficile dépend du nombre de nombres comparé à la taille de l'horloge.
- Les très petits ensembles (disons 100 nombres sur une horloge d'un milliard d'heures) : il y a beaucoup de place, mais il faut exclure toute coïncidence malheureuse. Kravitz et Bedert ont réglé ce cas en 2024.
- Les ensembles presque pleins (presque toutes les heures sont utilisées) : il n'y a presque aucune marge de manœuvre. Müyesser et Pokrovskiy ont trouvé une méthode : mettre de côté quelques nombres bien choisis, mélanger le reste au hasard, puis réparer les points problématiques en insérant les nombres de réserve.
- Le milieu (environ la moitié des heures) : trop encombré pour les méthodes des petits ensembles, trop clairsemé pour celles des grands. C'était la dernière lacune.
La dernière pièce : le hasard et les ondes
Approfondissement master
Sauermann et Pham sont partis d'un ordre aléatoire des nombres. Dans un ordre aléatoire, un total cumulé répété est un « mauvais événement ». Il leur fallait montrer deux choses : que les mauvais événements sont assez rares, et que ceux qui se produisent peuvent être réparés en réarrangeant. Pour montrer qu'ils sont rares, ils ont utilisé l'analyse de Fourier, la même idée qui décompose un son en ondes sinusoïdales pures, afin de prouver que les combinaisons aléatoires des nombres ne favorisent aucun total particulier. Leur procédure de réparation corrige l'ordre au moins 90 % du temps, et c'est suffisant : si un procédé aléatoire réussit avec une probabilité positive, un bon ordre doit exister.
Comme les chercheurs l'ont expliqué à Quanta Magazine, ce qui frappe dans cette méthode, c'est que si l'on procède au hasard, cela a de bonnes chances de marcher, même s'il est difficile de décrire explicitement à quoi ressemble la solution. Cette « méthode probabiliste », qui prouve qu'une chose existe sans jamais l'écrire, est l'une des idées les plus puissantes de la combinatoire moderne.
Vérification rapide
Sauermann et Pham ont montré qu'un ordre aléatoire peut être réparé au moins 90 % du temps. Pourquoi cela prouve-t-il qu'un bon ordre existe toujours ?
La chronologie
Chronologie
- 1971Ronald Graham pose la question du réarrangement pour des nombres sur une horloge d'un nombre premier d'heures.
- 2024Noah Kravitz et Benjamin Bedert règlent le cas des très petits ensembles, par exemple 100 nombres sur une horloge d'environ un milliard d'heures.
- 2022–2025Alp Müyesser et Alexey Pokrovskiy traitent les ensembles qui contiennent presque tous les nombres possibles ; une équipe commune étend les méthodes à d'autres cas.
- Févr. 2026Lisa Sauermann et Huy Tuan Pham comblent la dernière lacune, les ensembles de taille moyenne, dans un article de 27 pages qui complète la démonstration.
- Sept. 2026Quanta Magazine raconte la résolution en quatre articles de cette conjecture vieille de 55 ans.
Résolue par des humains, à l'ère de l'IA
2026 a été pleine de gros titres sur l'IA qui résout des problèmes de maths, certains réels, d'autres non, comme l'explique notre article Résolu par ordinateur. La conjecture de Graham rappelle utilement que les progrès les plus profonds viennent encore souvent des humains : quatre équipes, s'appuyant sur les idées les unes des autres pendant plusieurs années, transformant le hasard en certitude.
Sources et pour aller plus loin
- Mathematicians Harness Randomness To Crack a 55-Year-Old Conjecture — Quanta Magazine (28 Sep 2026) — les quatre articles, la répartition des cas et la méthode de Sauermann et Pham
- Probabilistic method — Wikipedia
- Modular arithmetic — Wikipedia
Dernière vérification : 3 octobre 2026, d'après le compte rendu de Quanta Magazine du 28 septembre 2026 cité ci-dessus.
Questions fréquentes
Que dit exactement la conjecture de réarrangement de Graham ?
Prenez un nombre premier p et un ensemble quelconque de nombres non nuls différents sur une horloge de p heures (arithmétique « modulo p »). On peut alors toujours les ranger dans un ordre tel que les totaux cumulés (le premier nombre, les deux premiers additionnés, les trois premiers, etc.) tombent tous sur des heures différentes. C'est désormais un théorème, démontré en quatre articles, le dernier en février 2026.
Qui a résolu la conjecture de Graham ?
Personne seul. Noah Kravitz et Benjamin Bedert ont traité les très petits ensembles ; Alp Müyesser et Alexey Pokrovskiy les ensembles contenant presque tous les nombres, avec une équipe commune qui a étendu leurs méthodes ; et Lisa Sauermann (université de Bonn) et Huy Tuan Pham (université de Chicago) ont comblé le dernier cas, celui des ensembles de taille moyenne, en février 2026.
La démonstration a-t-elle été trouvée par un ordinateur ou une IA ?
Non. C'est une démonstration humaine, construite à partir des probabilités (des ordres aléatoires) et de l'analyse de Fourier. Les ordinateurs peuvent vérifier rapidement de petits cas, comme l'exemple à six nombres de cette page, mais aucune vérification ne couvre tous les nombres premiers et tous les ensembles : c'est pourquoi une démonstration était nécessaire.
Pourquoi est-il important que la taille de l'horloge soit un nombre premier ?
Sur une horloge d'un nombre premier d'heures, ajouter plusieurs fois un même nombre non nul fait passer par toutes les heures avant de revenir au départ, ce qui donne à l'arithmétique une structure très régulière. La conjecture, et sa démonstration, portent sur ce cas premier.
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À propos de l'auteur
Sudershan Soni
Fondateur et tuteur principal chez Mostak Services — tuteur de mathématiques, sciences, informatique et STEM titulaire d'un Master, avec plus de 20 ans d'expérience professionnelle, enseignant à des élèves du 11+ et du GCSE jusqu'à l'A-Level et au-delà, en ligne dans le monde entier.
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