यह एक ऐसी पहेली है जिसे 12 साल का बच्चा भी समझ सकता है, पर दुनिया के गणितज्ञों को इसे सुलझाने में 55 साल लगे। घड़ी पर कुछ संख्याएँ लीजिए। क्या आप उन्हें हमेशा ऐसे क्रम में लगा सकते हैं कि एक-एक करके जोड़ते समय आप कभी एक ही घंटे पर दो बार न रुकें? फ़रवरी 2026 में इसके प्रमाण का आख़िरी टुकड़ा प्रकाशित हुआ। और निर्णायक औज़ार किसी ख़ास क्रम की कोई चतुराई नहीं, बल्कि यादृच्छिकता थी।
पहेली
GCSE मूल
घड़ी का अंकगणित ऐसा अंकगणित है जो घूमकर फिर शुरू हो जाता है। 11 घंटे वाली घड़ी पर 8 + 5 का उत्तर 13 नहीं, 2 है, क्योंकि 13 घड़ी के 11 से आगे निकलकर फिर शुरू से गिना जाता है। गणितज्ञ इसे “मॉड्यूलो 11” गणना कहते हैं। अब कुछ अलग-अलग संख्याएँ लीजिए जो 0 न हों, जैसे 1, 2, 3, 5, 9 और 10, उन्हें किसी क्रम में जोड़िए और हर संचयी योग लिखिए। आज़माइए:
ख़ुद आज़माइए: 11 घंटे वाली घड़ी पर अलग-अलग आंशिक योग
संख्याएँ 1, 2, 3, 5, 9, 10, जिन्हें 11 घंटे वाली घड़ी पर एक-एक करके जोड़ा जाता है (यहाँ 12 बजे का मतलब 0 है, और 13 घूमकर 2 हो जाता है)। क्या आप उन्हें ऐसे क्रम में लगा सकते हैं कि हर संचयी योग अलग घंटे पर पड़े?
| क्रम | 1 | 10 | 2 | 9 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| संचयी योग | 1 | 0 | 2 | 0 | 3 | 8 |
दोहराया गया योग: 0। फिर कोशिश करें।
रोनाल्ड ग्राहम एक प्रसिद्ध गणितज्ञ थे और कुशल बाज़ीगर (जगलर) भी (Quanta बताता है कि यह प्रश्न जगलिंग के पैटर्न जैसा है, जहाँ दो गेंदें कभी एक ही ताल पर नहीं गिरनी चाहिए)। उन्होंने 1971 में पूछा कि क्या हर अभाज्य संख्या p और शून्येतर संख्याओं के हर समूह के लिए एक अच्छा क्रम हमेशा मौजूद होता है।
चित्रण: संचयी योग, 11 घंटे वाली घड़ी पर छलाँगों के रूप में
0 से शुरू करें, फिर क्रम से 1, 2, 3, 9, 5, 10 जोड़ें:
- +1 → घंटा 1
- +2 → घंटा 3
- +3 → घंटा 6
- +9 → घंटा 4
- +5 → घंटा 9
- +10 → घंटा 8
वह अंतर जिसे छात्र अक्सर भ्रमित कर देते हैं
उदाहरण जाँचना प्रमाण नहीं है
यह कठिन क्यों था: समस्या के तीन आकार
स्नातक विस्तार
समस्या कितनी कठिन है, यह इस पर निर्भर करता है कि घड़ी के आकार की तुलना में आपके पास कितनी संख्याएँ हैं।
- बहुत छोटे समूह (जैसे एक अरब घंटों वाली घड़ी पर 100 संख्याएँ): जगह बहुत है, पर हर दुर्भाग्यपूर्ण संयोग को ख़ारिज करना पड़ता है। क्राविट्ज़ और बेडर्ट ने 2024 में यह मामला सुलझाया।
- लगभग भरे हुए समूह (लगभग हर घंटा इस्तेमाल हुआ है): हिलने-डुलने की जगह लगभग नहीं है। म्युयेसर और पोक्रोव्स्की ने रास्ता निकाला: कुछ ख़ास चुनी हुई संख्याएँ अलग रखो, बाक़ी को यादृच्छिक रूप से मिलाओ, फिर अलग रखी संख्याएँ डालकर समस्या वाली जगहें ठीक करो।
- बीच का हिस्सा (लगभग आधे घंटे): छोटे समूहों के तरीक़ों के लिए बहुत भरा हुआ, बड़े समूहों के तरीक़ों के लिए बहुत ख़ाली। यही आख़िरी ख़ाली जगह थी।
आख़िरी टुकड़ा: यादृच्छिकता और तरंगें
स्नातकोत्तर विस्तार
सॉअरमैन और फाम ने संख्याओं के एक यादृच्छिक क्रम से शुरुआत की। यादृच्छिक क्रम में दोहराया गया संचयी योग एक “बुरी घटना” है। उन्हें दो बातें दिखानी थीं: कि बुरी घटनाएँ काफ़ी दुर्लभ हैं, और कि जो थोड़ी-सी होती हैं उन्हें क्रम बदलकर ठीक किया जा सकता है। उन्हें दुर्लभ दिखाने के लिए उन्होंने फ़ूरिये विश्लेषण का इस्तेमाल किया, वही विचार जो किसी ध्वनि को शुद्ध साइन तरंगों में तोड़ता है, और सिद्ध किया कि संख्याओं के यादृच्छिक संयोजन किसी ख़ास योग का पक्ष नहीं लेते। उनकी सुधार-प्रक्रिया कम से कम 90% बार क्रम ठीक कर देती है, और इतना काफ़ी है: अगर कोई यादृच्छिक प्रक्रिया धनात्मक प्रायिकता से सफल होती है, तो एक अच्छा क्रम मौजूद होना ही चाहिए।
जैसा कि शोधकर्ताओं ने Quanta Magazine को बताया, इस तरीक़े की चौंकाने वाली बात यह है कि अगर आप इसे यादृच्छिक रूप से करें तो यह शायद काम कर जाएगा, भले ही यह स्पष्ट रूप से बताना कठिन हो कि हल कैसा दिखता है। यह “प्रायिकता विधि”, जो किसी चीज़ को लिखे बिना उसका अस्तित्व सिद्ध कर देती है, आधुनिक संयोजन-विज्ञान (कॉम्बिनेटोरिक्स) के सबसे शक्तिशाली विचारों में से एक है।
त्वरित जाँच
सॉअरमैन और फाम ने दिखाया कि यादृच्छिक क्रम को कम से कम 90% बार ठीक किया जा सकता है। इससे यह क्यों सिद्ध होता है कि अच्छा क्रम हमेशा मौजूद है?
समय-रेखा
समयरेखा
- 1971रोनाल्ड ग्राहम अभाज्य संख्या जितने घंटों वाली घड़ी पर संख्याओं के लिए पुनर्व्यवस्था का प्रश्न रखते हैं।
- 2024नोआ क्राविट्ज़ और बेंजामिन बेडर्ट बहुत छोटे समूहों का मामला सुलझाते हैं, जैसे लगभग एक अरब घंटों वाली घड़ी पर 100 संख्याएँ।
- 2022–2025आल्प म्युयेसर और अलेक्सी पोक्रोव्स्की लगभग सभी संभव संख्याओं वाले समूहों को सँभालते हैं; एक संयुक्त टीम तरीक़ों को और मामलों तक बढ़ाती है।
- फ़रवरी 2026लिसा सॉअरमैन और ह्यूई तुआन फाम 27 पन्नों के शोधपत्र में आख़िरी ख़ाली जगह, मध्यम आकार के समूह, भरकर प्रमाण पूरा करते हैं।
- सितंबर 2026Quanta Magazine चार शोधपत्रों में इस 55 साल पुराने अनुमान के हल की कहानी प्रकाशित करती है।
AI के युग में, इंसानों ने सुलझाया
2026 AI द्वारा गणित की समस्याएँ सुलझाने की सुर्ख़ियों से भरा रहा, कुछ सच्ची, कुछ नहीं, जैसा कि हमारा लेख कंप्यूटर से सुलझी समस्याएँ समझाता है। ग्राहम का अनुमान याद दिलाता है कि सबसे गहरी प्रगति अब भी अक्सर इंसानों से आती है: चार टीमें, जिन्होंने कई वर्षों तक एक-दूसरे के विचारों पर निर्माण किया और यादृच्छिकता को निश्चितता में बदल दिया।
स्रोत और आगे पढ़ने के लिए
- Mathematicians Harness Randomness To Crack a 55-Year-Old Conjecture — Quanta Magazine (28 Sep 2026) — चार शोधपत्र, मामलों का बँटवारा, और सॉअरमैन और फाम की विधि
- Probabilistic method — Wikipedia
- Modular arithmetic — Wikipedia
अंतिम जाँच: 3 अक्टूबर 2026, ऊपर उद्धृत Quanta Magazine की 28 सितंबर 2026 की रिपोर्ट के आधार पर।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
ग्राहम का पुनर्व्यवस्था अनुमान ठीक-ठीक क्या कहता है?
एक अभाज्य संख्या p और p घंटों वाली घड़ी पर अलग-अलग शून्येतर संख्याओं का कोई भी समूह लीजिए (“मॉड्यूलो p” अंकगणित)। तब उन्हें हमेशा ऐसे क्रम में लगाया जा सकता है कि संचयी योग (पहली संख्या, पहली दो का योग, पहली तीन का योग, इत्यादि) सभी अलग घंटों पर पड़ें। अब यह एक प्रमेय है, चार शोधपत्रों में सिद्ध, जिनमें आख़िरी फ़रवरी 2026 में आया।
ग्राहम का अनुमान किसने सुलझाया?
किसी एक व्यक्ति ने नहीं। नोआ क्राविट्ज़ और बेंजामिन बेडर्ट ने बहुत छोटे समूह सँभाले; आल्प म्युयेसर और अलेक्सी पोक्रोव्स्की ने लगभग सभी संख्याओं वाले समूह, और एक संयुक्त टीम ने उनके तरीक़े बढ़ाए; और लिसा सॉअरमैन (बॉन विश्वविद्यालय) और ह्यूई तुआन फाम (शिकागो विश्वविद्यालय) ने फ़रवरी 2026 में आख़िरी, मध्यम आकार वाला मामला सुलझाया।
क्या प्रमाण किसी कंप्यूटर या AI ने ढूँढा?
नहीं। यह इंसानों का बनाया प्रमाण है, जो प्रायिकता (यादृच्छिक क्रम) और फ़ूरिये विश्लेषण पर आधारित है। कंप्यूटर छोटे मामलों को जल्दी जाँच सकते हैं, जैसे इस पेज का छह संख्याओं वाला उदाहरण, पर कोई भी जाँच हर अभाज्य संख्या और हर समूह को नहीं ढक सकती। इसीलिए प्रमाण ज़रूरी था।
घड़ी के घंटों की संख्या का अभाज्य होना क्यों मायने रखता है?
अभाज्य संख्या जितने घंटों वाली घड़ी पर किसी शून्येतर संख्या को बार-बार जोड़ने से, शुरुआत पर लौटने से पहले हर घंटे से गुज़रना पड़ता है। इससे अंकगणित को बहुत नियमित संरचना मिलती है। अनुमान और उसका प्रमाण इसी अभाज्य वाले मामले के बारे में हैं।
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लेखक के बारे में
Sudershan Soni
मोस्तक सर्विसेज़ में संस्थापक व मुख्य शिक्षक — MSc-योग्य गणित, विज्ञान, कंप्यूटर साइंस और STEM शिक्षक, 20+ वर्षों के पेशेवर अनुभव के साथ, 11+ और GCSE से A-Level और उससे आगे तक के छात्रों को दुनिया भर में ऑनलाइन पढ़ाते हैं।
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